數學可以定義為這樣一門學科,我們永遠不知道其中所說的是什麼,也不知道所說的内容是否正确。 ——羅素

從古希臘先哲中誕生的“極限”和“無理數”兩頭惡獸，曾經引發了第一次數學危機和第二次數學危機，什麼是“極限”？從古希臘數學家芝諾開始，人類就一直在思考無窮小量究競是不是零？無窮小及其分析是否合理？這讓數學家十分痛苦，即使過了2000多年，牛頓的微積分依然深陷于“極限”的泥沼之上。

“阿基裡斯追不上烏龜”：阿基裡斯總是首先必須到達烏龜的出發點，因而烏龜必定總是跑在前頭。這是對“極限”難題的形象诠釋之一。

正如希爾伯特說的那樣：“沒有任何問題象無窮那樣深深地觸動人的情感，很少别的觀念能象無窮那樣激勵理智産生富有成果的思想，然而也沒有任何其它概念能象無窮那樣需要加以闡明”。

而無理數則把希臘先哲創立的“萬物皆為數”的世界擊垮，古希臘人把有理數視為連續銜接的那種算術連續統的設想徹底地破滅了，人類轉而開始探索集合。

這也讓數學的發展一直搖搖欲墜，這兩把懸在所有數學家頭上的利劍在肆虐了2000年之後，威爾斯特拉斯、狄德金和康托等人發起了浩浩蕩蕩的分析算術化運動，建立了完備的實數體系，将“極限”、“無理數”兩頭惡獸斬殺，從而為數學的發展鋪平了道路。

當時，康托爾和戴德金都是将實數定義為有理數的某些類型的“集合”。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康托爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。

康托爾的有理數序列理論

而康托爾的這些思想也促進了集合論的誕生。1873年11月29日康托爾給戴德金寫了一封信，把導緻集合論産生的問題明确地提了出來：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。同年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來。這一天應該看成是集合論的誕生日。

集合論是研究集合（由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含了集合、元素和成員關系等最基本的數學概念。

而集合論中元素也有三大特性：确定性、互異性、無序性。首先集合中的元素必須是确定的，例如{我們學校帥的男生}這就不是一個集合,因為帥的定義不同,有些人認為陽剛是帥，有些人認為陰柔是帥，所以元素不确定；集合中的元素必須是互不相同的 ，例如{5,6}是一個集合,但是不能表示為{5,6,5}，這就是互異性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一個集合，這就是集合的無序性，因為集合中的元素是不存在順序的。

從1879年到1883年，康托爾寫了六篇系列論文，論文總題目是“論無窮線形點流形”，其中前四篇同以前的論文類似，讨論了集合論的一些數學成果，特别是涉及集合論在分析上的一些有趣的應用。第五篇論文後來以單行本出版，單行本的書名《一般集合論基礎》。第六篇論文是第五篇的補充。《一般集合論基礎》在數學上的主要成果是引進超窮數。

該文從内容到叙述方式都同現代的樸素集合論基本一緻，所以該書标志着點集論體系的建立。康托爾創立的集合論可以說在數學的發展中起到了重大的作用，在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。

數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。

這讓數學家歡喜異常，1900年國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”。

龐加萊的話反而成了一個Flag，在兩年之後，羅素在集合論中發現了一個問題，羅素是著名的哲學家、文學家、數學家，他擅長從哲學的角度去思考數學的發展，也就是我們經常說的“數學是什麼”這一高度去看待數學。

1903年，羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。羅素設集合S是由一切不屬于自身的集合所組成，即“S={x|x ∉ S}”。那麼問題是：S包含于S是否成立？首先，若S包含于S，則不符合x∉S，則S不包含于S；其次，若S不包含于S，則符合x∉S，S包含于S 。根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。

而羅素悖論影響最廣的版本就是“理發師悖論”：在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：“我隻給所有不給自己刮胡子的人刮胡子”。

來找他刮臉的人絡繹不絕，這些人自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發師從鏡子裡看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們覺得他能不能給他自己刮臉呢？

如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

這就是數學史赫赫有名的“一個理發師沖進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基”事件。

理發師引發的第三次數學危機将數學界搞得所有數學家都焦頭爛額，直因為羅素悖論隻涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬于和概括原則，它的構成十分清楚明白，所以它涉及的是數學基礎問題。

這個悖論的出現說明以往的樸素集合論中包含矛盾，因而以集合論為基礎的整個數學就不能沒有矛盾。這個悖論也同時說明數學中采用的邏輯也不是沒有問題的。

羅素悖論表明不能無條件承認概括原則，然而概括原則的改變将使集合論大為改觀，因此對整個數學的影響是巨大的。簡單來說，承認無窮集合，承認無窮基數，看起來悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的确定性卻在一步一步地喪失。這就是問題的矛盾所在。

這也讓許多畢生從事集合論的數學家難以接受，甚至許多成果都付之一炬，數學家弗雷格在他剛要出版的《算術的基本法則》第2卷末尾寫道：

"一位科學家不會碰到比這更難堪的事情了，即在工作完成之時，它的基礎垮掉了，當本書等待印出的時候，羅素先生的一封信把我置于這種境地"。

這就是真理的無窮，即使我們對于數學大廈的構建耗費了如此巨大的精力，花費了數千年的時間，我們得出的很多結論仍然不是嚴密的，可能會有漏洞。

為了解決危機，1908年策梅洛提出了比較完整的公理，這些公理指明了對集合的哪些操作是合法的。後經過弗蘭克爾的完善和補充，形成了ZF公理系統。

(ZF1)外延公理：一個集合完全由它的元素所決定。如果兩個集合含有同樣的元素，則它們是相等的。

(ZF2)空集合存在公理：即存在一集合s，它沒有元素。

(ZF3)無序對公理：也就是說，任給兩個集合x、y，存在第三個集合z，而w∈z當且僅當w=x或者w=y。

(ZF4)并集公理：也就是說，任給一集合x，我們可以把x的元素的元素彙集到一起，組成一個新集合。

準确的定義：“對任意集合x，存在集合y，使w∈y當且僅當存在z使z∈x且w∈z”。

(ZF5)幂集公理：也就是說，任意的集合x，P（x）也是一集合。

準确的定義：“對任意集合x，存在集合y，使z∈y當且僅當對z的所有元素w，w∈x”。

(ZF6)無窮公理：也就是說，存在一集合x，它有無窮多元素。

準确的定義：“存在一個集合，使得空集是其元素，且對其任意元素x，x∪{x}也是其元素。”

根據皮亞諾公理系統對自然數的描述，此即：存在一個包含所有自然數的集合。

(ZF7)分離公理模式：“對任意集合x和任意對x的元素有定義的邏輯謂詞P(z)，存在集合y，使z∈y當且僅當z∈x而且P(z)為真”。

(ZF8)替換公理模式：也就是說，對于任意的函數F（x），對于任意的集合t，當x屬于t時，F（x）都有定義（ZF中唯一的對象是集合，所以F（x）必然是集合）成立的前提下，就一定存在一集合s，使得對于所有的x屬于t，在集合s中都有一元素y，使y=F（x）。也就是說，由F（x）所定義的函數的定義域在t中的時候，那麼它的值域可限定在s中。

(ZF9)正則公理：也叫基礎公理。所有集都是良基集。說明一個集合的元素都具有最小性質，例如，不允許出現x屬于x的情況。

準确的定義：“對任意非空集合x，x至少有一元素y使x∩y為空集。”

這在一定程度上解決了第三次數學危機，但是卻并沒有徹底将理發師從數學大廈當中請出去，長達100多年的數學危機如今還沒有解決。

矛盾的消除，危機的解決，往往給數學帶來新的内容，新的進展，甚至引起革命性的變革，這也是危機帶給數學界最大的意義。

我們也期待數學家有一天可以真正解決第三次數學危機，甚至建立起一座新的數學大廈。

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