找次品問題之次品特點未知的特例2——8找1“換組法”

　　2018年8月10日星期五

　　本文以《找次品問題之次品特點未知的特例1——5找1“破組法”》為基礎，有了上文的鋪墊，本文行文得以簡潔，讓我們專注于特例本身。

　　下面給出特例2：

　　8找1，即在8個産品中找出唯一的次品，并說明其特點。

　　首先，給8個産品編号為：①②③④⑤⑥⑦⑧。

　　其次，對8個産品進行分組。

　　8（3，3，2）

　　對應為：（①②③，④⑤⑥，⑦⑧）

　　分組依然遵循盡量“均分為三”的最優策略。

　　第三，開始稱重。

　　第（一）步：

　　（①②③）←→（④⑤⑥）

　　出現兩種結果：1或0

　　第（二）步：

　　分情況進行讨論。

　　1：

　　即次品在①②③④⑤⑥中，①②③與④⑤⑥或輕或重被标記一次；⑦⑧是合格品。

　　（①⑤⑥）←→（④⑦⑧）

　　出現兩種結果：1或0

　　本步體現“換組”特點，請注意觀察：用合格品⑦⑧換掉右盤⑤⑥，用右盤⑤⑥換掉左盤②③。新進入的是⑦⑧，出去的是②③。這樣做的實質是：一種新的、巧妙的“均分為三”的分組方法。由于次品在①②③④⑤⑥中，正常情況我們要對這個“保留組”進行分組：6（2，2，2），但換組法巧妙之處在于：分為②③一組、⑤⑥一組、①④一組；②③在盤外，⑤⑥由右盤轉為左盤，①④仍居左右兩盤且不改變原來狀态。像①④這樣的“分居兩盤組”，在“換組法”的操作下，數量為2的倍數：2、4、6、8、……這個特點對“換組法”的通用性或更大n值（比如大于12時）的優越性将帶來限制，此處作為鋪墊。

　　（重要程度★★★★）

　　0：

　　次品在⑦⑧中，①②③④⑤⑥均為合格品。任選一合格品①與⑦（或⑧）對比稱重：

　　（①）←→（⑦）

　　出現兩種結果：1或0

　　第（三）步：

　　由于樹形結構“幾何級遞增”的特點，本步需讨論4種情況。

　　1－1：

　　在連續兩次出現“不平衡”狀态時，我們要進一步地區分：1s（狀态一樣）、1c（狀态改變）。故而第（三）步總讨論情況數變為：4＋1＝5（種）。請注意這種結構的變化，您可以邊讀邊拿起紙和筆，嘗試畫出“樹形圖”，輔助您的理解。事實上，一個“樹形結構”哪怕每次分支為2，4層後也将擴展為：2^（4－1）＝8種情況，如下圖：

樹形二分圖

　　更别說5層、6層……更多的分支！将稱重步驟用文字描述簡直就是一場“災難”！這也是我們選取n值不太大但比較典型的數值的原因，因為數學中許多規律總是可以通過較少的“有限歸納”得出的，即體現了以小見大、以有限推斷無限的特點。

　　1－1s：

　　即：（①②③）←→（④⑤⑥）與（①⑤⑥）←→（④⑦⑧）的不平衡狀态相同。

　　此時，由于⑦⑧是合格品，以下換組：⑦⑧→⑤⑥→②③未改變不平衡狀态，說明⑤⑥、②③也是合格品，次品在①④中。我們可以任選①④中的一個與其他任一合格品進行第3次稱重對比，便可判斷出次品：

　　（①）←→（⑦）

　　出現兩種結果：1或0

　　1－1s－1：說明①是次品，且次品特點已知；

　　1－1s－0：說明④是次品，且次品特點根據前兩步任一步的“标記”已知。

　　（1▲▲▲）

　　1－1c：

　　即：（①②③）←→（④⑤⑥）與（①⑤⑥）←→（④⑦⑧）的不平衡狀态相反。

　　此時，由于⑦⑧是合格品，以下換組：⑦⑧→⑤⑥→②③改變不平衡狀态，說明次品在⑤⑥中，正是由于⑤⑥中包含次品，其由右盤換至左盤的過程使得天平的不平衡狀态發生了“逆轉”。⑤⑥是“同盤組”，直接對其二者進行第3次稱重對比，即可找出次品：

　　（⑤）←→（⑥）

　　隻會出現一種結果：1

　　1－1c－1：次品或⑤或⑥，且次品特點根據前兩步任一步的“标記”已知，或輕或重，可以确定。

　　（2▲▲▲）

　　1－0：

　　即：（①②③）←→（④⑤⑥）不平衡，而（①⑤⑥）←→（④⑦⑧）平衡。

　　顯然，次品在換出盤外的②③中。②③是“同盤組”，直接對其二者進行第3次稱重對比，即可找出次品：

　　（②）←→（③）

　　隻會出現一種結果：1

　　1－0－1：次品或②或③，且次品特點根據第一步的“标記”已知，或輕或重，可以确定。

　　（3▲▲▲）

　　0－1：

　　即：（①②③）←→（④⑤⑥）平衡，（①）←→（⑦）不平衡。

　　此時：⑦是次品，對比合格品①，特點已知。本情況下稱重2次找出次品。

　　（4▲▲▲）

　　0－0：

　　即：（①②③）←→（④⑤⑥）平衡，（①）←→（⑦）平衡。

　　此時：⑧是次品，特點未知，和任一合格品對比第3次即可确定：

　　（①）←→（⑧）

　　隻有一種結果：1

　　0－0－1：次品是⑧，特點已知。

　　（5▲▲▲）

　　此時用（▲▲▲）标記的5種情況均已讨論完備，足見：8找1次品特點未知最少3次保證可以找出。

　　完整“樹形結構”圖示如下：

“8找1次品特點未知”稱重實驗示意圖

　　或許，您可以在紙上畫一畫，将具體的天平稱重示意圖添加進上面的樹形圖中，更加直觀，有益于您的理解和思考。

　　對于“8找1次品特點未知”的情況，按我的“通用模型”（下文将給出），最少需稱重4次，但巧妙的“換組法”進一步地優化到了3次，這與上文“公式A”的結論湊巧一緻。本例如果再用上文“破組法”，則優化不出3次的結果，因為第一次稱重時，盤中各有3個，不能均分破組。

　　“換組法”的強大之處還在于最大可将“12找1次品特點未知”的次數優化到3次，“13找1”、 “14找1”……便辦不到了。進一步擴大到“29找1”時，“公式A”的解為：4 1=5次，我的“通用模型”解為4次，“換組法”也是4次。

　　“換組法”操作麻煩，易出錯，不易理解。我現階段的觀點是：n＞12以後，“換組法”相較我的“通用模型”，不再具有優勢。（後文詳述）

　　下面給出“12找1次品特點未知”的簡要稱重實驗過程：

“12找1次品特點未知”稱重實驗示意圖

　　值得注意的是：

　　（1）1s、1c符号隻在兩次均出現不平衡狀态，且盤内産品數保持一緻的情況下使用，也就是此時才有對比“不平衡狀态是否發生改變”的必要。

　　（2）上面“12找1次品特點未知”的實驗過程中，第二次對①②③④⑤⑥⑦⑧通過“換組”實現“均分為三”的過程為：8（3，3，2），對應為：（②③④，⑥⑦⑧，①⑤），所以“節約次數”，正是由于每小組均不超過3的緣故，使得各小組在接下來隻需稱重1次即可确定次品，這一點對于理解“換組法”的特點和限制尤為重要。

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