一：觀察物體

1.一般從正面、左面、上面觀察物體。

2.給出一個方向看的圖形，用小正方體擺，有多種擺法。

3.根據三個方向看到的圖形擺出原圖，可确定幾何體形狀。

4.搭幾何體時，先從上面确定基本形狀，然後從正面和側面确定層數和每層的個數。

二：因數與倍數

1.因數與倍數

在整數除法中，如果商是整數而沒有餘數，我們就說被除數是除數的倍數，除數是被除數的因數。例如：12÷6=2，我們就說12是6和2的倍數，6和2是12的因數。

研究因數和倍數的時候，我們所說的數指非0自然數。

因數和倍數是成對出現的，不能單獨存在。

一個數的因數的個數是有限的，其中最小的是1，最大的是它本身。

因數找法：①列乘法算式，哪兩個整數的積是這個數，這兩個整數就是這個數的因數，從1開始找起。②列除法算式，用這個數除以整數，商是整數且沒有餘數，除數和商都是這個數的因數。

一個數的倍數的個數是無限的，其中最小的是它本身，沒有最大的。

一個非0自然數既是它本身的最大因數，又是它本身的最小倍數。

2.2、3、5的倍數特征

個位上是0、2、4、6、8的數都是2的倍數。 2的倍數一定是偶數。

一個數各位上的數的和是3的倍數，這個數就是3的倍數。例如：168，因為1 6 8=15，15能夠被3整除，所以168是3的倍數。

個位上是0或5的數都是5的倍數。

拓展：①同時是2和5的倍數的數個位上隻能是0；②同時是2和3的倍數的數個位上是0，2，4，6，8，且各個數位上數字之和是3的倍數；③同時是3和5的倍數的數個位上是0或5，且各個數位上的數字之和是3的倍數；④同時是2、3和5的倍數的數個位上是0，且各個數位上的數字之和是3的倍數。⑤一個數末兩位數是4的倍數，這個數就是4的倍數。⑥一個數各位上的數和是3的倍數且是偶數的都是6的倍數。

理解記憶：

①在3的倍數中，最小的兩位數是（ 12 ），最大的兩位數是（ 99 ）；

最小的三位數是（ 102 ），最大的兩位數是（ 999 ）。

②既是2的倍數、又是3 的倍數的最小三位數是（102），最大三位數是（996）。

③既是3的倍數、又是5的倍數的最小三位數是（ 105 ），最大三位數是（ 990 ）。

④既是2和5的倍數、又是3 的倍數的最小三位數是（120），最大三位數是（990）；最小兩位數是（30），最大兩位數是（90）。

3.奇數和偶數

整數中，是2的倍數的數叫做偶數（0也是偶數），不是2的倍數的數叫做奇數。

①奇數±偶數=奇數 奇數±奇數=偶數 偶數±偶數=偶數

②奇數×偶數=偶數 奇數×奇數=奇數 偶數×偶數=偶數

③奇數個奇數相加和是奇數,偶數個奇數相加和是偶數。

④不論多少個數相乘，隻要有一個因數是偶數，積就是偶數。

我們一般可以用列舉法證明上述結論，舉例說明一般舉出3個以上例子。

4.質數和合數

一個數，如果隻有1和它本身兩個因數。那麼這樣的數叫做質數（或素數）。如：2、3、5、7都是質數。

一個數，如果除了1和它本身還有别的因數，那麼這樣的數叫做合數。如4、6、15、49都是合數。

1既不是質數，也不是合數。

100以内的質數：2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47，53，59，61，67，71，73，79，83，89，97。

數的分類:

①按奇偶性分為 ：奇數和偶數；

②按因數的個數分為：1、質數和合數。

三：長方體和正方體

1.長方體和正方體的認識

長方體有6個面，每個面一般都是長方形（特殊情況有兩個相對的面是正方形），相對的面的完全相同；長方體有12條棱，相對的棱的長度相等，長方體有8個頂點。

正方體有6個面，每個面都是完全相同的正方形，正方體有12條棱，每條棱的長度都相等，正方體有8個頂點。

正方體是特殊的長方體。

2.長方形和正方形的棱長和

長方體所有棱長之和＝（長＋寬＋高）×4

正方體所有棱長之和＝棱長×12

長度單位：毫米mm、厘米cm、分米dm、米m、千米km

長度單位進率：1km=1000m 1m=10dm=100cm=1000mm

1dm=10cm 1cm=10mm

3.正方體的11種展開圖

①“141型”，中間一行4個作側面，上下兩個各作為上下底面，共有6種基本圖形。

②“132型”，中間3個作側面，共3種基本圖形。

③“222型”,兩行隻能有1個正方形相連。

④“33型”,兩行隻能有1個正方形相連。

4.長方體與正方體的表面積

長方體和正方體的表面積:長方體或正方體6個面的總面積。

上下面面積：長×寬

前後面面積：長×高

左右面面積：寬×高

長方體表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2

用字母表示為S＝(ab＋ah＋bh) ×2

正方體表面積＝棱長×棱長×6 用字母表示為S＝6a2

面積單位：平方厘米cm2、平方分米dm2、平方米m2 、公頃、

平方千米km2

面積單位進率：1km2=100公頃

1公頃=10000m2 1m2=100dm2=10000cm2 1dm2=100cm2

5.長方體與正方體體積

物體所占空間的大小叫做物體的體積。

體積單位有：立方厘米cm3、立方分米dm3、立方米m3

體積單位的進率為：1m³=1000dm³ 1dm³=1000cm³

長方體的體積=長×寬×高 用字母表示為V=abh

正方體的體積=棱長×棱長×棱長 用字母表示為V=a3

長方體（或正方體）底面的面積叫做底面積。

長方體（或正方體）的體積=底面積×高，用字母表示為V=Sh

6.容積和容積單位

箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

計量容積，一般就用體積單位。計量液體的體積，如水、油等，常用容積單位升和毫升，也可以寫成L和mL。

1L=1dm³ 1L=1000mL=1000cm3

1mL=1cm³ 1m3=1000L

長方體和正方體容器容積的計算方法，跟體積的計算方法相同，但要從容器裡面量長、寬、高。

補充：

單位名稱

相鄰兩個進率

長度

米、分米、厘米

10

面積

平方米、平方分米、平方厘米

100

體積

立方米、立方分米、立方厘米

1000

7. 排水法求不規則物體體積：

①物體放入後的總體積－物體放入前水的體積﹦物體體積

②容器的底面積×水面上升的高度﹦物體體積

四:分數的意義和性質

1．分數的意義

一個物體、一個計量單位或是一些物體等都可以看做一個整體。把這個整體平均分成若幹份，這樣的一份或幾份都可以用分數來表示。

一個整體可以用自然數1來表示，我們通常把它叫做單位“1”。

把單位“1”平均分成若幹份，表示其中一份的數叫做分數單位。例如，3(2)的分數單位是3(1)。

2.分數與除法

被除數÷除數＝ 除數(被除數) a÷b＝b(a) （b不等于0）

3.真分數和假分數

分子比分母小的分數叫做真分數。真分數小于1。

分子比分母大或分子和分母相等的分數叫做假分數。假分數大于1或等于1。

像25(1),14(3)，……這樣由整數和真分數合成的數叫做帶分數。（帶分數隻是假分數的另一種書寫形式）

假分數的分子是分母倍數的可以化成整數，分子不是分母倍數的可以化成帶分數。

4.分數的基本性質

分數的分子和分母同時乘或者除以一個相同的數（0除外），分數的大小不變。這叫做分數的基本性質。這是分數約分、通分、分數之間比較大小、分數之間加減計算的前提。

5.約分：把一個分數化成和它相等，但分子和分母都比較小的分數，叫做約分。

步驟是：

①：找，找出分子與分母的公因數或最大公因數

8的因數：1，2，4，8

1，2，4是8和12公有的因數，叫做它們的公因數。其中4是最大的公因數，叫做最大公因數。

12的因數：1，2，3，4，6，12

②：除，分子和分母同時除以公因數或最大公因數，

③：止，直到确定分子和分母互質為止。

不論是逐步約分還是一次約分都是依據分數的基本性質。

☆求兩個數的最大公因數的方法:

(1)列舉法；(2)篩選法：先找出兩個數中較小數的因數，再從中圈出另一個數的因數，看所圈的數中哪一個最大；（3）短除法

☆兩個數的公因數是它們最大公因數的因數，最大公因數是公因數的倍數。

☆當兩個數成倍數關系時，較小數就是它們的最大公因數。

☆當兩個數互質時，它們的最大公因數是1。

公因數隻有1的兩個數叫做互質數。

互質數的特殊情況：

(1)1和任意非0自然數都是互質數。(2)2和任意奇數都是互質數。

(3)任意兩個相鄰非0自然數都是互質數。

(4)任意兩個相鄰的奇數都是互質數。

(5)質數與任意一個不是它倍數的數都是互質數。

分子和分母隻有公因數1，這樣的分數叫做最簡分數。

約分時，要約成最簡分數。(所有題的答案都要是最簡分數)

6.通分：把異分母分數分别化成和原來分數相等的同分母分數，叫做通分。

步驟：①找，找分母的最小公倍數

4的倍數：4，8，12，16，20，24，28，32，36，40，…

12，24，36，…是4 和6公有的倍數，叫做它們的公倍數。其中，12是最小的公倍數，叫做它們的最小公倍數。

6的倍數：6，12，18，24，30，36，42，…

②乘，根據分數的基本性質，将每個分數都化成以最小公倍數為分母的分數。

兩個數的公倍數是它們最小公倍數的倍數，最小公倍數是公倍數的因數。

當兩個數成倍數關系時，較大數就是它們的最小公倍數。

當兩個數互質時，它們的最小公倍數是這兩數的積。

7.分數和小數的互化

小數化分數：小數表示的就是十分之幾，百分之幾，千分之幾……的數，所以可以直接寫成分母是10、100、1000、……的分數，再化簡。

分數化小數：用分子除以分母，除不盡時，要根據需要按“四舍五入”法保留幾位小數。

常用分數小數互化表

2(1)＝0.5 4(1)＝0.25 4(3)＝0.75

5(1)＝0.2 5(2)＝0.4 5(3)＝0.6 5(4)＝0.8

8(1)＝0.125 8(3)＝0.375 8(5)＝0.625 8(7)＝0.875 25(1)＝0.04

8.分數和分數、分數和小數比較大小

1．分數和分數之間比較大小

①同分母分數相比，分子大的分數大。

②同分子分數相比，分母小的分數反而大。

③分子、分母都不同時，應先通分，使分母相同，再比較大小。也可以把各個分數化成小數再比較。

2．分數和小數之間比較大小

将分數轉化為小數（或将小數轉化為分數），再比較大小。

9.分數的加法和減法

1．同分母分數加減法

同分母分數相加減，分母不變隻把分子相加減，計算結果，能約分的要約成最簡分數。

2．異分母分數加減法

異分母分數相加、減，因為分母不同（也就是分數單位不同），要先通分，轉化為同分母分數，然後按照同分母分數相加減法則進行計算。

3．分數加減混合運算

無論是簡算，還是混合計算，結果都要是最簡分數。

※喝牛奶問題（99頁）

1.如果全部喝完：喝了一杯牛奶，看兌了多少次水。

2.如果沒有喝完：分别計算每次喝了多少水和奶，再分别相加。

五.圖形的運動（三）

圖形變換方式：平移、旋轉和對稱 。

旋轉方向分為：順時針旋轉與逆時針旋轉

旋轉三要素：旋轉中心、旋轉方向和旋轉角度。

旋轉的特征：圖形旋轉前後形狀、大小都沒有變化，隻是位置變化了。

旋轉的叙述方法：圖形是繞哪個點什麼方向旋轉了多少度。

六．折線統計圖

折線統計圖的特點：既能反映出數量的多少，又能反映出數量的增減變化情況。

複式折線統計圖的特點:複式折線統計圖不但能表示出各組數據的多少和數據的增減變化情況，而且便于比較各組相關數據的差異和變化趨勢。

※七．數學廣角——找次品（111頁）

找次品前提：隻含一個次品，已知次品比正品重或輕。

最優方法：把物品分成3份，每份數量盡量平均。

物品數量

2～3

4～9

10～27

28～81

82～243

稱重次數

1

2

3

4

5

※打電話（102頁）到第n分鐘，所有接到通知的隊員和老師的總人數為2ⁿ人，所有接到通知的隊員的總人數為(2ⁿ -1)人。

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