【問題引入】

（1）一個長方形的周長為30，且長比寬多7，求長和寬

（2）一個長方形的面積為30，且長比寬多7，求長和寬

【解】設寬為x，則長為x 3

（1）2(x 7)=30，整理得：2x 14=30①

（2）x(x 7)=30，整理得：x² 7x=30②

方程①和方程②有什麼相同點和不同點？

類比一元一次方程，我們可以把x² 7x=30這樣方程叫做一元二次方程

一、一元二次方程的定義

類比一元一次方程的定義，我們可以對一元二次方程如下定義：

隻含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程，叫做一元二次方程

不難看出，一元二次方程必須滿足3個條件：

①隻含一個未知數(一元)

②未知數的最高次數是2(二次)

③是整式方程（分母中、根号下都不含未知數）

【例1】判斷下列方程是否為一元二次方程？

【分析】

(3)有2個未知數，不滿足條件①

(2)(5)最高次數不為1，不滿足條件②

(4)(8)不是整式方程，不滿足條件③

(7)化簡後為12x 10=0，不滿足條件②

所以，隻有(1)(6)是一元二次方程

【理解】

1、“元”指未知數的個數，“次”指最高次數，所以一元二次方程指的是有一個未知數，最高次數是2的方程，且屬于整式方程的範疇；

2、判斷一個方程是否是一元二次方程，要看化簡之後，然後根據一元二次方程必須的三個條件判别

二、一元二次方程的一般形式

【幾點理解】

（1）對于一元二次方程，二次項系數a必須滿足a≠0（易錯點！！！），尤其在解決含參方程問題時，極易出錯！

（2）這裡的b和c可以為0，甚至可以同時為0，分别對應相關的形式：ax² c=0，ax² bx=0，ax²=0

（3）在判定和求解一元二次方程時，通常情況下，都要首先化成一般式

（4）一元一次方程的一般形式ax b=0，要求一次項系數a≠0

（5）一元二次方程的一般形式ax² bx c=0，實際是根據x的次數由高到低的順序排列的，即按"降幂"排列

（6）無論是項還是系數，都應該連同前面的符号

（7）ax² bx c=0并不一定是一元二次方程，隻有當a≠0時才是

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【例2】将下列方程化為一般形式，并分别指出它們的二次項、一次項和常數項以及它們的系數

（1）3x(x-1)=5(x 2)

（2）x²=0

【分析】

解：

（1）

3x²-3x=5x 10

3x²-3x-5x-10=0

3x²-8x-10=0

二次項：3x²，其系數為3

一次項：-8x，其系數為-8

常數項：-10

（2）

二次項：x²，其系數為1

一次項：0，其系數為0

常數項：0

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【例3】

【分析】

原方程若為一元二次方程，必須滿足：

m²-2=2且m-2≠0(易忽略)，得：m=-2

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【例4】方程(2a-4)x²-2bx a=0

①在什麼條件下，此方程為一元二次方程？

②在什麼條件下，此方程為一元一次方程？

【分析】

①此方程若為一元二次方程，必須滿足：

2a-4≠0

即a≠2時是一元二次方程

②此方程若為一元一次方程，必須滿足：

2a-4=0且-2b≠0

即a=2且b=0時是一元一次方程

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三、一元二次方程解的概念

能使方程左右兩邊相等的未知數的值就叫做方程的解，一元二次方程的解也叫一元二次方程的根

【理解】

對于方程的解(無論何種方程)，其核心是"能使方程左右兩邊相等"，可理解為：如果x=a是方程的解，那麼x=a就滿足這個方程，即把x=a代入方程，左右兩邊相等

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【例5】請驗證x=-5是不是方程x² x-12=0的根

【分析】

将x=-5代入方程左邊：x² x-12=(-5)²-5-12=8≠0

所以，x=-5不是方程x² x-12=0的根

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【例6】已知關于x的一元二次方程(m-1)x² 3x-5m 4=0有一根為2，求m

【分析】

既然x=2是方程的根，那麼我們就可以把x=2代入方程得：

4(m-1) 6-5m 4=0，解得m=6

當m=6時，原方程二次項系數m-1≠0

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【例7】關于x的一元二次方程(m-1)x² x m²-1=0有一個根為0，求m

【分析】

既然x=0是方程的根，那麼我們可以把x=0代入方程得：

m²-1=0，得m=±1

又∵原方程二次項系數m-1≠0，即m≠1

所以，m=-1

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【練習題】

1、下列方程時一元二次方程的是（ ）

2、關于x的方程(k²-1)x² 2(k-1)x 2k 2=0，當_______時，是一元二次方程；當________時，是一元一次方程

3、

4、（1）若關于x的方程x² ax-2=0有一個根是1，則a的值為________；

（2）已知關于x的一元二次方程x² bx c=0的兩個實數根為-1，3，則b=_____，c=_________；

（3）已知關于x的一元二次方程ax² bx c=0（a≠0），且a b c=0，則此方程必有一個根為_________。

5、若x=m是方程2x²-3x-1=0的一個根，則2024-6m² 9m的值為__________.

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【參考答案】

1、(1)(2）為一元二次方程'

2、k≠±1

3、m=1

4、（1）1 （2）-2，-3 （3）1

5、2021

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