等腰直角三角形，是初中數學中重要的特殊三角形，性質非常豐富！常見常用的性質大都以"等腰三角形"、"直角三角形"、"對稱"、"旋轉拼接"、"勾股比1:1：√2"、"45°好角輔助線"、"半個正方形"等角度拓展延伸。

今天在解題探究學習中，碰到一道以等腰直角三角形為背景的幾何題，有些難度，非常漂亮。經過"見招拆招" "破解分解"竟然可以"獲得"一連串等腰直角三角形的"固定性質"，并且具有"思維連貫性" "思路延展性"，結合常用條件，可以"伴生"解決好多等腰直角三角形的幾何題！

題目：如圖，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB中點，點E在AC上，點F在BC上，∠EDF=90°，邊AF，若∠CAF=2∠BDF， AE=3，則DF=_________

下面就如何"真實而自然"利用"基本圖形"去"拆解破解"這道題！

1.看到"AC=BC，∠ACB=90°，點D是AB中點"，馬上想到連接CD，得到"直角三角形斜邊中線等于斜邊一半：CD=AD=BD",CD三線合一垂直AB；再結合"∠EDF=90°"馬上能得到"兩組全等"，如圖，同色三角形全等。證明方法很多，也不太困難，若用"旋轉思想"，則可以"秒證"！而且由DE=DF，可以得到直角三角形△DEF是等腰直角三角形！如圖：

2.連接EF，可以得到"8字型相似"：兩個45°角相等 對頂角相等。右圖可得圖上有三個α相等。

3.将直角三角形△FEC沿着CF向外"翻折"，可得：①第四個α角相等（如圖）；②CF=CE，且和AE"共線"（垂直鄰補角）

4. 如上面第3點，∠GAF=∠EFG,并∠G=∠G,顯然這又是"偏A型相似"，如圖：染色兩個三角形相似。而三角形△FEG是等腰三角形，所以三角形△AGF也是等腰三角形！漂亮！"竟然"有如此漂亮的美麗結論在後面等着！

5."謀定後動"後面可以"定量計算"了！如圖，設EC=CF=x,則等腰△AGF中AF=AG=AE EF=3 2x，而"旋轉全等"（△CDF≌△ADE）得CF=AE=3,又AC=AE EC=3 x;顯然在直角三角形△ACF中，勾股定理可以計算出：x=1.

5. 如上，x=1求出來後，就可以"發起最後的沖鋒了"！在直角三角形△CEF中，EF=√（1 3^2）=√10，而直角三角形△DEF是等腰直角三角形！DF=EF/√2=√5，口算解決！

本題解法一路"翻山越嶺"，解題過程一路"忍難拼搏"，"一曲肝腸斷"，殊為不易！

上述解題過程6大步驟，"起承轉合"做到"潤滑自然"要費點"幾何功力" "大膽嘗試"。

更多是基于對"常見圖形，基本結論"的"敏感性" "合理想象" "輔助線補全構建" "對接促成"讓題目所有條件都能"有機關聯"起來。

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