函數的概念

設 A ，B 是非空的數集，如果按照某種确定的對應關系 f ，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一确定的數f(x)和它對應，那麼就稱 f ：A→B 為從集合A到集合B的一個函數，記作

y = f ( x ), x ∈ A

x 叫做自變量，x 的取值範圍 A 叫做函數的定義域；與 x 的值相對應的 y 值叫做函數值，函數值的集合｛ f (x) | x∈A ｝叫做函數的值域。值域是集合B的子集。

函數符号 y = f ( x ) 是由德國數學家菜布尼茲在1 8 世紀引入的。

舉例說明定義域和值域

例題

研究函數用到的區間的概念 :

設 a，b 是兩個實數，而且a＜b。我們規定：

函數定義域可以用區間表示

無窮大

一個函數的構成要素為：定義域、對應關系和值域。值域是由定義域和對應關系決定的。定義域和對應關系相等的兩個函數相等。

例題

函數的表示方法

先前的數學筆記中，函數的描述方法有列舉法，解析法和圖象法。函數圖象既可以是連續的曲線，也可以是直線、折線、離散的點等等。

例題

像例題中的函數圖象稱為分段函數。

A ，B 是非空的集合，按确定的對應關系 f ，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y與之對應，那麼就稱對應 f ：A → B 為從集合A到集合B的一個映射。

函數的基本性質

㈠ 單調性與最大（小）值

函數的單調性:描述函數圖象的“上升”和“下降”。

一次函數 f (x) = x 和二次函數 f (x) = x² 的單調性。

一次函數和二次函數

二次函數 f (x) = x ² 圖象在區間 (一∞，0] 上，f (x) 随着 x 的增大而減小，在區間 (0， ∞) 上， f (x) 随着 x 的增大而增大。

一般地，設函數 f (x) 的定義域為 A ：

如果對于定義域 A 内某個區間 D 上的任意兩個自變量的值 x1 ，x2 ，當 x1 ＜ x2 時，都有 f (x1) ＜ f(x2) ，則函數 f(x) 在區間 D 上是增函數；若 f(x1) ＞ f(x2) ，則函數 f(x) 在區間 D 上是減函數。

單調性

函數 y = f ( x ) 在區間D上是增函數(或減函數)，就說函數 y = f ( x ) 在這一區間具有(嚴格的)單調性，區間 D 叫做 y = f (x) 的單調區間。

一個函數 f (x) 的圖象有最低點時，函數 f (x) 有最小值。一次函數 f (x) = x 的圖象沒有最低點，則函數 f (x) = x 沒有最小值。

一般地，設函數 y = f (X) 的定義域為 A ，如果存在實數 m 滿足：

① 對于任意的 x ∈ A ，都有 f (x) ≤ m ；

② 存在 x0 ∈ A ，使得 f (x0) = m 。

則 m 是函數 y = f (x) 的最大值。

例題

㈡ 奇偶性

一般地，如果對于函數 f (x) 的定義域内任意一個 x ，都有 f (－x) = f ( x ) ，那麼函數 f (x) 就叫做偶函數 (關于y軸對稱的函數圖象) ；若 f (－x) = － f (x)，那麼函數 f (x) 就叫做奇函數 (關于原點對稱的函數圖象) 。

偶函數圖象

奇函數圖象

例題

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