研究流形和流形上的物體的數學分支叫作微分幾何。在本文中，我們将研究其中的四種對象——标量、逆變向量、1-形式（也稱為協變向量）和張量。

實際上，标量、逆變向量和協變向量都是不同類型的張量，但我們首先要把它們看作獨立的實體

大多數作者似乎更喜歡用“1-形式”這個詞，而不是“協變向量”，所以這就是我們從現在開始要用的。而且，許多作者将逆變向量簡單地稱為向量。事實上，我們會更草率地使用“向量”作為逆變向量和1-形式的通用術語。希望當我特别提到逆變向量的時候，以及同時提到逆變向量和1-形式的時候，上下文環境能讓你們明白。回想一下逆變向量有一個上标

1-形式有個下标

張量可以沒有上下标，也可以有一個或多個标。稍後，我們将學習張量代數的規則，包括張量的scaling等運算，一個張量

乘以一個标量S得到一個新的張量

一個張量

對上下标求和得到另一個張量

微分幾何是這些規律的理論基礎。然而，就像你不需要成為一名汽車工程師來駕駛一輛車一樣，如果你想操作張量，你也不需要知道所有的基礎數學知識。因此，本文的一些内容都是“引擎蓋下”的細節——有用但不是必需的。但是，當我們開始在廣義相對論中使用張量的時候，它應該能讓你更深入地理解張量是什麼。

我們知道，表示大小和方向的量的簡單矢量，比如速度。我們可以把這些矢量畫成有向線段——一條一端有箭頭的線，箭頭指向矢量的方向。用笛卡爾坐标，我們知道向量V由它的分量的乘積組成

以及基向量的集合

得到

因為這些坐标軸是很簡單的直線，基向量不需要改變方向。這就是為什麼笛卡爾向量很容易使用，因為基向量不會改變。這類基是常量，稱為非坐标基（即它們不随坐标變化）。

在狹義相對論中，時空是平的，也可以用笛卡爾坐标系來描述。在狹義相對論中，我們已經看到了幾個四維向量的例子，包括：

• 四維位置

• 四維速度

• 四維動量

• 四維力

不幸的是，廣義相對論中使用的矢量并不是空間中從一點延伸到另一點的有向線段。相反，每個矢量都位于時空中的一個點上。事實上，時空中的每個點本身就是一個矢量空間，并且是無數個矢量的家園。這個向量空間既是一個切空間（包含那些被稱為1-形式的對象）。

逆變向量和1-形式應被認為是同一幾何物體在時空中某一點的不同表示。下面将詳細介紹，但是對于一個逆變向量，考慮一個參數化曲線的切向量；對于1-形式，考慮标量場的梯度。我們稍後會看到度規張量是如何将一個向量轉換成它相應的1-形式的，反之亦然。簡單向量和我們現在讨論的更抽象的向量都被稱為“向量”的原因是它們都遵守定義向量空間的規則。簡而言之，向量空間由一組對象（例如稱為群X）組成，這些對象可以加在一起并乘以一個标量，結果将是群X的另一個成員。

到目前為止，指标（上下标）都是指特定的坐标系：x, y, z表示笛卡爾坐标系； r， θ， φ代表球面，等等。微分幾何要求更抽象地使用指标，它們可以指任何允許的坐标系統。類似地，在廣義相對論中，因為我們處理的是彎曲的時空，所以沒有首選的坐标系，我們需要能夠從任何一個坐标系轉換到任何其他坐标系（術語是，使用的是廣義坐标系）。

因此，如果

• 式1

是舊坐标，

• 式2

是新的坐标（μ = 0，1，2，3），那麼任何連接式1和式2的函數都是允許的，隻要：

• 函數是可微的
• 時空中的每一個點都由一組4個數字唯一地标記出來
• 利用逆變矢量和1-形式的變換性質（包括坐标函數的偏導數），我們可以在不同的坐标系之間自由移動。

逆變基向量和1-形式的基向量也定義為坐标函數的導數。我們不需要詳細講，但是可以注意到逆變基向量與坐标曲線相切（沿着它隻有一個坐标改變），1-形式的基向量是坐标曲面的梯度（在這個曲面上隻有一個坐标保持不變）。這類基（不像笛卡爾坐标系中常存在的非坐标基）随坐标變化，稱為坐标基。

然而，向量和1-形式（通常是張量的分量的變換性質是基無關的，這意味着我們通常不需要太擔心基向量和基1-形式。關鍵的是，基無關意味着如果一個張量方程在一個坐标系中成立，那麼它在所有坐标系中也成立。因為我們傾向于隻引用向量的分量，1-形式，等等。

雖然，在廣義相對論的背景下，我們不能有意義地讨論空間中從一點延伸到另一點的有向線段（因為時空是彎曲的），但我們可以定義時空中的一個無限小位移矢量：

數學的力量在于，它允許我們操縱并最終得到物理可測量的量（時間、距離、速度、動量等）。

任何逆變向量或1-形式都是它的分量和某種基的乘積。逆變四維向量通常用字母上的箭頭表示，所以用愛因斯坦求和約定

式中

分别是的分量和基向量。1-形式通常由字母上的波浪線表示，如

所以我，再次使用愛因斯坦求和約定

其中

分布是分量和基的1-形式。逆變向量線性作用于1-形式（反之亦然），從而得到一個标量（一個實數）。這是可行的，因為基向量和基1-形式之間的關系是由方程定義的

因此，對于任何一種形式的向量

這是一個标量。

在研究逆變向量和1-形式的變換性質之前，我們先看看當我們從一個坐标系變換到另一個坐标系時标量場會發生什麼。這是下一篇文章的内容了。

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