大家知道，無理數也稱為無限不循環小數，如圓周率π、√2（根号2）等，不能寫作兩整數之比。若将它寫成小數形式，小數點之後的數字有無限多個，并且不會循環。常見的無理數包括大部分數的平方根、π等。

小學和初中階段學習的數均是有理數或無理數（即實數），實數分為有理數和無理數，無理數是無限不循環小數，應滿足三個條件：①是小數；②是無限小數；③不循環。小學階段接觸的圓周率π就是常見的無理數。無理數是無限不循環小數，與之相對的是有理數，有理數是由所有分數，整數組成，它們都可以化成有限小數，或無限循環小數。

傳說，無理數最早由畢達哥拉斯學派弟子希伯斯發現。他發現了一個事實：若正方形的邊長為1，則正方形對角線的長不是一個有理數。這與畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”（指有理數）的哲理大相徑庭。而畢達哥拉斯深信任意數均可用整數及分數表示，不相信無理數的存在。後來希伯斯将無理數透露給外人，觸犯學派章程，将動搖他們在學術界的地位，因而希伯斯被處死。

畢氏弟子的發現，第一次向人們揭示了有理數系的缺陷，證明它不能同連續的無限直線同等看待，有理數并沒有布滿數軸上的點。在數軸上存在着不能用有理數表示的區域。無理數的發現對以後2000多年數學的發展産生了深遠的影響，促使人們從依靠直覺、經驗轉向依靠證明，推動了公理幾何學與邏輯學的發展。

無理數的本質是什麼？長期以來衆說紛壇，得不到正确的解釋。15世紀意大利著名畫家達.芬奇稱之為“無理的數”，17世紀德國天文學家開普勒稱之為“不可名狀”的數。由無理數引發的數學危機一直延續到19世紀下半葉。1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，從而結束了無理數被認為“無理”的時代，也結束了持續2000多年的數學史上的第一次大危機。

科學不等于聖潔。科學家不等于道德高尚，這樣的教訓古今都有。然而，真理畢竟是淹沒不了的。人們為了紀念希勃索斯這位為真理而獻身的學者，就把不可通約的量取名為“無理數”。這便是“無理數”的由來。

由于無理數不能寫成兩整數之比，利用有理數和無理數的主要區别，可以證明√2是無理數。

下面給出歐幾裡得《幾何原本》中的證明方法：

證明：假設√2不是無理數，而是有理數.

既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：√2=p/q.

再假設p和q沒有公因數可以約，則可以認為p/q為最簡分數.

把 √2=p/q 兩邊平方得 2=(p^2)/(q^2)，

即 2(q^2)=p^2，

由于2(q^2)是偶數，p 必定為偶數，因此可設p=2s，

由 2(q^2)=4(s^2) 得 q^2=2s^2，

由于2s²是偶數，同理q²是偶數，而隻有偶數的平方才是偶數，所以q必然也為偶數.

既然p和q都是偶數，它們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾.

這個矛盾是由假設√2是有理數引起的，因此√2是無理數。

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