在講對數的兩位創始人——英國的兩位數學家納白爾和布裡格斯的故事以前，我們要從斯提非講起。

斯提非（1487—1567）是德國厄斯林根地方的牧師，後來又在著名的哥尼斯堡大學裡擔任神學和數學的講師。1544年他寫了一本書，名叫《整數的算術》。在這本書中，斯提非寫道：“關于整數的這些奇妙性質，可以寫成整本整本的書……”斯提非發現了整數的什麼性質，使他這樣驚喜萬分呢？

他寫出兩個數列，左邊一個是等比數列（叫做“原數”)，右邊一個是等差數列（叫做原數的“代表人物”）：

斯提非發現，計算16×128有一個極為巧妙的方法：16的 “代表人物”是4，128的“代表人物”是7，4與7相加得11。而16×128的積是2048，恰好是11（代表人物）對應的原數。除法也是一樣，2048的“代表人物”是11，256的“代表人物”是8，11－8=3，所以2048÷256=8，正是“代表人物”3所對應的原數。這樣，左邊數目的乘除法，變成了右邊數目（代表人物）的加減法。

熟悉對數的讀者一眼就能看出，斯提非所謂的“代表人物”，實際上就是原數以2為底的對數。如log(2)128=7等等。斯提非實際上已經掌握了我們學過的對數運算法則

可是，在斯提非時代還沒有分指數的概念，15×129怎麼辦呢？2047÷258又怎麼辦呢？它們的“代表人物”是什麼呀？這一連串問題，把他弄得束手無策。斯提非隻好說：“這個問題太狹窄了，所以不值得研究。”已經走到發明邊緣上的腳又縮了回去，真是可惜！

不過，斯提非也有一點功勞，他用的“代表人物”（德文exponent）這個詞，後來被數學界正式采用，就是現在我們說的“指數”。

文藝複興時期，歐洲的科學技術得到了解放，天文、測繪、航海等事業發展異常迅猛。但是，有一個問題使科學家們大為頭疼，就是龐大數字的乘、除、乘方、開方等運算十分繁難，不少人把大量寶貴的時間和精力都花在這裡面。怎樣才能簡化計算的手續，把科學家從繁難的運算中解放出來呢？這成了當時一個迫切需要解決的問題。由于這種客觀需要的推動，納白爾成了對數的第一個發明者。

納白爾（1550—1617）是蘇格蘭愛丁堡貴族。他多才多藝，對天文學、機械學都有研究，特别精通于數學計算。球面三角學中有他發現的公式；用來作乘除法速算的“納白爾算籌”被譽為世界上計算機的萌芽。

納白爾大約從40歲（1590年）開始研究對數。當時歐洲代數學還十分落後，連“指數”、“底數”這些概念都還沒有建立。可是，在納白爾的刻苦鑽研下，卻首先發明了對數。對數的出現，竟然比指數還早，這不能不說是數學史上的一大奇迹。

在沒有指數概念的情況下，納白爾是怎樣想出對數來的呢？這是一個非常有趣的問題。納白爾是這樣考慮的。設線段TS長度為a, T'E是一條射線。質點G從T開始作變速運動，其速度與它到S的距離成正比。質點L從T'開始作勻速運動，其速度與G的初速相同（圖3 )。當G運動到圖中G點的時候，L運動到圖中L點，設GS=x, T'L=y。納白爾稱y為x的對數。實際上，x在變化時可以看成一個無窮遞縮等比數列，而y在變化時可以看成一個無窮遞增等差數列。和斯提非一樣，等差數列y就是等比數列x的“代表人物”（對數）。不過納白爾比斯提非高明的地方是x和y作連續變化，所以打破了斯提非x和y均為整數的限制。

圖3

納白爾對數的概念，如果改用現代數學語言來叙述就明白多了。看圖3，因為G的速度與x成正比，所以dx/dt=-kx（k為比例常數，負号表示減速）。又因為L作勻速運動，其速度等于G在T的初速ka，所以dy/dt=ka（a就是TS的長度）。所以

為了簡單起見，設a=1（單位長），則dy/dx＝-(1/x)。再對此式求積分我們得到log(e)x=-y。

e就是自然對數的底。從以上結果看，納白爾對數實際上就是以1/e為底的對數。納白爾完全不用現代數學術語，而用一般口語，直觀地加以描述。得出了“對數”的定義。當時由于天文學計算的需要，納白爾把TS(=a)當作最大的正弦值，而計算x的相應的對數值y，這樣他造出了世界上第一個三角函數的對數表。

1614年納白爾的對數大作《奇妙的對數》一書在愛丁堡出版。這本書是大約有200頁的8位對數表，花了他将近20年的心血。書出版時納白爾已經64歲了。20年緊張艱苦的勞動，耗盡了他的精力。這本書出版後三年，納白爾就離開了人世。

納白爾生前常常說：“我總是盡我的一切力量，來減輕人們繁重而單調的計算。這種令人厭煩的計算，往往吓倒了許多學習數學的人。”為了減輕别人計算的繁難，他自己卻在繁難的計算中度過了最後的20年！

納白爾發明對數，在當時來說的确是一件非常了不起的貢獻。十八世紀法國大數學家拉普拉斯有一句很著名的話評價對數的偉大意義，他說：“對數的發現，等于将科學家的壽命延長了兩倍。”

1614年納白爾的對數大作發表以後，并沒有立刻引起科學界的重視，卻震驚了倫敦的一位數學家布裡格斯。布裡格斯（1561—1631）先在倫敦格熱沙姆學院當幾何學教授，後來又在牛津大學當天文學教授。真是“慧眼識英雄”，布裡格斯一眼就看出了納白爾工作的重大意義。他寫道：“納白爾用他新穎而奇妙的對數使我能夠用腦和手來工作。我從未讀過一本能夠使我這樣驚異和喜愛的書了。我希望今年夏天能見到他。”

1616年夏天，布裡格斯寫信給納白爾，決定親自到愛丁堡登門拜訪。從倫敦到愛丁堡千裡迢迢，當時還沒有火車， 布裡格斯乘坐馬車日夜兼程前進。不料馬車在途中出了毛病，無法如期到達。布裡格斯在這裡心急如焚，納白爾在那邊望眼欲穿，他口中一遍又一遍念道“亨利（布裡格斯）也許不會來了吧？”正在這時，忽聽一下敲門聲，納白爾真是喜出望外。見面時，兩人争先伸出手來緊緊地握住不放，兩對喜悅的眼睛裡流出了淚水。由于過分的激動，兩張嘴唇微微痙攣，足足有一刻多鐘，大家呆呆地站立着，講不出話來。

最後還是布裡格斯先開口：“我長途跋涉，唯一的目的就是想見見你本人，并且想知道，你是靠什麼樣的一種天才武器才第一次發現這個對天文學真是妙不可言的方法——對數。為什麼沒有人早些把它找到呢？”兩人手拉手地在房間裡踱着談着，真是“酒逢知己千杯少”。為探求真理，為共同事業，他們遂結為終生知己。

納白爾講述了他發明對數的經過和詳細計算方法。布裡格斯根據他在牛津大學講授對數的經驗（他已經把納白爾對數給學生講過幾次課），提出了改進意見，主張1的對數為 0 ,10的對數為1，這樣更便于運算，這就是以10為底的常用對數的産生。納白爾非常贊成他的建議。可惜的是，改進的計劃還沒有開始，第二年（1617年）納白爾就離開人世了。

納白爾沒有完成的宏偉事業，由已經56歲的布裡格斯繼承下來了。布裡格斯是一位深受大家喜愛，并且非常富有事業心的教授。他對納白爾的對數表作了很大的改進。第一， 納白爾對數隻限于三角函數的對數值，他把它改為一般數值的對數，擴大了應用範圍；第二，以10為底，計算方便。1624年（這時布裡格斯已經63歲）出版了《對數算術》一書，載有1—20,000以及90,000—100,000的14位常用對數表，這是世界上第一個常用對數表。中間的空隙還來不及補滿，布裡格斯就逝世了。

布裡格斯沒有完成的部分，即20,000—90,000的常用對數，于1628年由荷蘭數學家富拉克補齊了。富拉克的對數表是10位對數表。到1794年又出現了7位對數表。

從實用的角度出發，對數表的演化是從多位尾數演進到更短的尾數。學校裡以前采用的都是5位對數表，後來一律改用4位對數表了。7位對數表需要約200頁，5位對數表隻要30頁，4位對數表隻要3頁，當然，由于某些特殊需要，曾經有人造過20位、48位、61位、102位甚至260位的自然對數表！

對數表和計算尺現在已經逐漸被計算機、計算器這些更為先進的工具所代替了，但是對數的發明在曆史上的功績是永遠不會磨滅的。

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