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二次函數是初中數學的重點和難點，它的綜合性很強，可以與很多知識點結合起來進行考核，因此，考生普遍覺得這一塊知識點是數學中考的失分項，本文結合例題詳細講解二次函數的相關知識點和解題思路，希望能給大家帶來幫助。

一開口向上的抛物線與x軸交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)兩點，記抛物線頂點為C，且AC⊥BC．

(1)若m為常數，求抛物線的解析式；

(2)若m為小于0的常數，那麼(1)中的抛物線經過怎麼樣的平移可以使頂點在坐标原點？

(3)設抛物線交y軸正半軸于D點，問是否存在實數m，使得△BOD為等腰三角形？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由。

1、二次函數的相關知識點

二次函數的解析式有三種：一般式：y=ax bx c，頂點式：y=a(x b/2a) （4ac-b）/4a，交點式：y=a(x-x1)(a-x2)；

如果已知抛物線的頂點坐标，則可以按頂點式設二次函數解析式，隻有一個未知數a，在抛物線上找到一個點的坐标，代入解析式就可求得a，從而解得二次函數解析式。

如果已知抛物線與x軸的兩個交點的坐标，則可以按交點式設二次函數解析式，隻有一個未知數a，求解二次函數解析式的方法與頂點式相同。

如果不是以上兩種特殊情況，則可以按一般式設二次函數解析式，有三個未知數，則需要在抛物線上找到三個點的坐标，代入解析式就可求得a、b、c，從而解得二次函數解析式。其中，抛物線的對稱軸為-b/2a，頂點坐标為（-b/2a，（4ac-b）/4a），與y軸交點為（0，c）。

2、直角坐标系中求解兩點間距離

在直角坐标系中，兩點(x1,y1)、（x2,y2）間的距離計算公式：d=√(x1-x2) (y1-y2)，當兩點在同一水平線上，即兩點的縱坐标相同y1=y2，則d=|x1-x2|。

3、直角坐标系中求解中點坐标

在直角坐标系中，兩個端點為(x1,y1)、（x2,y2）的線段中點坐标為（(x1 x2)/2,(y1 y2)/2）,當兩點在同一水平線上，即y1=y2，則中點坐标為（(x1 x2)/2,y1）。

4、化簡帶絕對值的代數式

含絕對值的代數式進行化簡時，必須考慮絕對值裡面代數式值的正負性。如果為非負數，則去絕對值符号後，代數式不需要變号；如果為負數，則去絕對值符号後必須變号。即當x≥0時，|x|=x；當x<0時，|x|=-x。

5、利用幾何圖形求解二次函數

與抛物線相關的幾何圖形存在大小或位置上的關系，必須轉換為特殊點的坐标值關系，才能進行求解。比如三角形的邊相等，必須轉換為通過頂點坐标求解頂點間的距離。

根據題目中的條件：抛物線與x軸交于A(m－2，0)，B(m＋2，0)兩點，則選擇交點式設函數解析式，再求得抛物線上一點C，代入函數解析式就可解得系數a和二次函數的解析式。

1、求C點坐标

根據題目中的條件：AC⊥BC，AC=BC，則△ABC為等腰直角三角形。

設抛物線的對稱軸與x軸交于E點，根據等腰直角三角形的性質，則AE=BE=CE。

根據中點坐标值的計算公式，則E點的橫坐标為（m－2 m＋2）/2=m。

根據兩點間距離的計算公式，則AB=|(m＋2)- (m－2)|=4。

根據結論：AE=BE=CE，則CE=AE=AB/2=2。

根據題目中的條件：C點在x軸下方，則C點坐标為(m,-2)。

2、求解二次函數解析式

設抛物線的解析式為：y=a(x-m 2)(x-m-2)，把C點坐标（m,-2）代入解析式，可解得：a=1/2。

所以，抛物線的解析式為：y=1/2(x-m 2)(x-m-2)=1/2(x-m)-2。

抛物線的頂點坐标為（m,-2），将抛物線左移m個單位、上移2個單位，就可以使頂點到達坐标原點。

3、求滿足特殊條件的函數解析式

根據函數解析式：y=1/2(x-m 2)(x-m-2)=x/2-mx m/2-2，可得D點坐标為（0，m/2-2）。

根據題目中的條件：抛物線交y軸正半軸于D點，則m/2-2>0，即m>2或m<-2。

根據題目中的條件：△BOD為等腰三角形，∠BOD為直角，則OD=OB。

根據題目中的條件和結論：B(m＋2，0)， D（0，m-4），OD=OB，則|m 2|= m/2-2。

根據結論：m的取值範圍為m>2或m<-2，則分情況進行讨論：

當m>2時，|m 2|= m/2-2可化簡為：m 2= m/2-2，解得m=4或m=-2，其中m=-2與條件m>2不符，舍去，則符合題意的解為：m=4；

當m<-2時，|m 2|= m/2-2可化簡為：-m-2= m/2-2，解得m=0或m=-2，與條件m<-2不符，舍去，則沒有符合題意的解。

所以，當m=4時，△BOD為等腰三角形。

總之，二次函數是數學中考的必考題，涉及的知識點較多，尤其與幾何圖形結合以後進行求解，會有一定難度，考生必須熟練掌握二次函數的知識點，并靈活運用相關公式，才能進行正确求解，為數學取得好成績加油助力。

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