貝葉斯公式

在需要計算事件 A 在事件 B 下的條件概率時，可以計算 P(A|B)=P(AB)/P(B), 又因為條件概率公式 P(AB)= P(B|A)*P(A) ，所以可得 P(A|B)= P(B|A)*P(A)/P(B) 。而在一個樣本空間中，事件 B 可以劃分成幾個部分，例如下圖中事件 B 可以分為 AB 同時發生和 A’B 同時發生兩種情況，它們共同組成了事件 B ，所以事件 B 的概率還可以表示成 P(B)=P(AB) P(A’B)。

根據條件概率公式對 P(AB) 和 P(A’B) 變形可以便得到貝葉斯公式：

在上述貝葉斯公式中，我們将事件 B 看作事件 A 和 A’ 發生的情況下産生的結果，于是貝葉斯公式便可以簡單的理解成已知結果發生時求導緻結果的某種原因的概率。

例如問題 1 ：

“ 将兩信息分别編碼為 A 和 B 傳送出去接收站收到時 ,A 被誤收作 B 的概率為 0.02, 而 B 被誤收作 A 的概率為 0.01. 信息 A 與信息 B 傳送的頻繁程度為 2:1. 若接收站收的信息是 A, 問原發信息是 A 的概率是多少 ?”

在這個問題中，設發送信息 A 為事件 A ，發送信息 B 為事件 B ，接收到信息的信息為 A 是事件 C ，接收到的信息為 B 是事件 D ，那麼将事件 C 作為結果，題目也就轉換成了已知結果 C 發生求條件 A 的概率問題。

所以可以得到 :

P(A|C)=P(AC)/(P(AC) P(BC))

P(A)=2/3

P(B)=1/3

P(AC)=0.98*2/3

P(BC)=0.01*1/3

帶入數據可計算出 P(A|C)=196/197 。

貝葉斯推論

貝葉斯公式經過變形可以得到貝葉斯推論：

在這個式子中，把 P(A) 稱為 " 先驗概率 " （ Prior probability ），即在 B 事件發生之前，對 A 事件概率的一個判斷。

P(A|B) 稱為 " 後驗概率 " （ Posterior probability ），即在 B 事件發生之後，對 A 事件概率的重新評估。

P(B|A)/P(B) 稱為 " 可能性函數 " （ Likelyhood ），這是一個調整因子，使得預估概率更接近真實概率。

而在問題 1 中， P(A) 就是先驗概率，是在實驗結果前測試的概率，而 P(A|C)Z 則是在實驗結果後得到的後驗概率，由于在式子中的調整因子大于 1 ，所以使得先驗概率被增強，事件 A 發生的可能性變大了。

貝葉斯推論在現實生活中的運用

貝葉斯推理實際是借助于新的信息修正先驗概率的推理方法。顯然，這樣的方法如果運用得當，可以在依據概率作出決斷時，不必一次收集一個長期過程的大量資料，而可以根據事物發展的情況，不斷利用新的信息來修正前面的概率，作出正确決策。例如，當無法對一件事做出準确的判斷時，可以通過尋找它的調整因子來增大或者減小它的概率，在經過多次調整後，即可将它的概率增加或者減少到可以做出判斷。

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