根據我們上周完成的調研，高一同學在入學後的第一個月内感到學習吃力的科目之中，數學竟然占到了85%！我們在這裡收集了一些同學們對于開學一個月以來對于高中數學的初步印象：

雖然初中的時候就一直在當數學課代表，但進入高一以後，數學對我還是不太友好。集合論那塊的符号感覺上就已經遠遠超出我們初中學到的符号的總和了，後面的函數部分一開始就上來一個抽象的f(x)，完全搞不明白編教材的到底想幹什麼

——衡水中學 高一16班 杜同學

初中學過奧賽的在高一還算好吧，比如我同桌。但是我初中完全沒接觸這方面的東西，正經學的話就學過一次函數、二次函數和反比例函數，但是現在我們已經上完指數函數和對數函數了，老師讓我們下周放假的時候自己去預習三角函數，現在這些函數都絞到一起了，圖像和性質都沒時間去整理。不知道放完假開始學三角函數以後我還能不能聽懂老師在說什麼......

—— 北京四中 高一101班 張同學

集合那章直接睡過去了，完全聽不懂。

後面開始講函數定義域和單調性的時候已經完全懵逼了。接下來一周内好像要把指數函數和對數函數一口氣講完，我覺得這對于我來說是在是太快了

—— 廣東實驗中學 汪同學

客觀事實是，高一數學與初中數學之間确實存在一個非常巨大的鴻溝。如果大家在中考結束之後抱着玩的心态一點也不學的話，進入高一的第一個月，不适感會非常明顯。因為高一半個學期的知識容量，幾乎就可以和整個初中的知識相當了。

——貴陽市第一中學 數學特級教師 張忠華

函數是高中數學知識體系中非常特殊的一個門類，它幾乎貫穿了從高一到高三的全部課程。但是，不同的學習階段，函數部分所需要掌握的知識内容也存在明顯差異。

舉個例子，高一年級的數學課程體系要求學生對函數的掌握程度，與初中要求相比隻是略有深入而已。我們隻需要關心對數函數，指數函數，幂函數，三角函數等基本初等函數的一些基本性質和圖像特征，以及一些簡單抽象函數的一般特性就行了。但是到了高二，我們将深入學習解析函數單調性的分析技巧：導數與微分，這是大學數學微積分理論的簡化版，雖然原理比較複雜，但是我們可以在靈活運用它的基礎上輕松地弄清楚函數的單調特性。對于進入複習階段的高三同學而言，函數在題目中表現出來的難度将遠遠大于高二。這是因為，高考實戰對函數的極緻要求，是函數在各種數學場景中的綜合應用！此時的考生必須學會在考題給出的理論模型的基礎上提煉函數模型、分析參數在其中的作用、使用微積分工具預測函數的單調性，并給出符合要求的解決方案。

因此，說函數是高中期間最具挑戰性的數學知識，完全不誇張。

國慶長假令人充滿期待，但這個時期也是查缺補漏，縮小與其他同學差距的絕佳時期。如果你已經在開學後的第一個月内落後了，那麼國慶七天長假将為你提供絕佳的反超機會！

針對大家反饋強烈的指數函數、對數函數和幂函數，我們為高一到高三的各位分别準備了三張足以歸納基本知識點、常用題型、易錯點的手繪草稿，一共9張手繪原圖幫助大家在假期内自主總結，實現突破！

清華北大學霸伴讀

這裡全部都是來自清華大學和北京大學的本科或博士學神，高考最低本省前20名；與我們随時在微信群内交流，任何不懂的、不會的，都可以随時問。

我們會教給大家最直接、最高效的高中知識，也會言傳身教，讓大家在耳濡目染中成長。戳下方相應年級添加微信〜

高一學生

高二學生

高三學生

高一家長

高二家長

高三家長

面向高一 手繪稿A

指數-對數函數幂函數的解析特性

指數函數和對數函數都是在乘方的定義基礎上發展而來的函數。但是對于實數定義域而言，兩種函數的具體意義也發生了微妙的變化。這裡的第一張手繪稿将為大家展現這種差異：

面向高一 手繪稿B

指數-對數函數，幂函數的圖像特性

一般而言，初等函數的圖像是必須要熟練記憶的，而考試的時候也會考察大家對圖像走勢和其中關鍵點的分析和理解能力。此外，對于嵌套型複合函數，也可以采用基本的初等函數模型的變換進行近似。下圖為大家列出指數函數，對數函數以及幂函數的圖像特征

面向高一 手繪稿C

三類函數的常見考法

面向高二 手繪稿A

函數導數與極限

對于尚未學習導數的同學來說，這應該是一個新的知識分支。但是它與大家曾經碰到過的問題密切相關：對于一個由初等函數通過四則運算複合而成的新函數（這種函數幾乎每一場高中的數學考試中都會出現），如何分析它的單調性呢？導數公式為大家提供了一個非常便捷的方法。

需要提醒大家的是，導數的本質是高等數學中的微積分理論，其中的“極限”相關的知識在高中已經大幅度弱化。因此大家在高中階段可以在不對極限進行深入學習的情況下活用導數的相關結論——它與三角函數公式的記憶難度相當，但是在解決函數分析的問題中卻可以起到事半功倍的作用！

面向高二 手繪稿B

特殊指數函數與對數函數的微分特性

面向高二 手繪稿C

引入導數後的三類函數常考考點

導數的核心是求導公式，而導數本身則是反映函數在定義域内任意位置變化率的有效判據。因此單調性問題在導數的輔助下會最終變成一個新函數的零點與正負特性問題。

需要注意的是，這部分往往會和符合函數、一般函數的幾何特性分析聯合進行考查，而導數知識隻是為其中的一部分分析提供了更加簡潔的方案而已。真正能夠應對考試的能力本質上還是靈活應用數學知識解決問題的能力、

面向高三 手繪稿A

函數問題在交叉領域問題中的應用

函數是解決絕大多數數學問題的主要工具，因此近年來高考題中也出現了很多與實際問題結合的函數問題：

面向高三 手繪稿B

一些特殊求解技巧

面向高二 手繪稿C

圖解法的應用

好的，本期【草稿紙上的數理化】到這裡就結束了，如果大家能從手繪稿中得到啟示，那真是再好不過了，最後針對同學們數學基礎薄弱的問題，我們特為大家開設數學分析課，戳下方按扭，報名領取！免費哦！

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