求導法則全集?導數，是數學中非常重要的一部分高中的時候，高考數學的難題往往就和導數相關，而基本初等函數的求導，則是求解複雜的初等函數的導數的基石我們知道對一個初等函數，它的導數的定義是：，現在小編就來說說關于求導法則全集?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

求導法則全集

導數，是數學中非常重要的一部分。高中的時候，高考數學的難題往往就和導數相關，而基本初等函數的求導，則是求解複雜的初等函數的導數的基石。我們知道對一個初等函數，它的導數的定義是：

我們當時利用這個定義，展現了的求導：

然而，當我們再學其他基本初等函數的導數（指對幂函數，三角函數）的時候，數學課本上突然就略去了這個過程，而是直接給出了結論。我們似乎也是将這些結論背下來的，而沒有真正理解它的内涵。

難道這些求導規則都是湊的？編的？沒有依賴于導數的定義？

當然不可能！這篇文章的目的，就是把這一環補上。

設，為的函數，為的函數，在變化了時，, 和分别變化了, 和。則：

（1）加減法求導法則為：

（向左滑動可查看完整公式，下同）

(2) 乘法求導法則為：

(3) 除法求導法則為：

(4) 複合函數的求導法則為：

诶等等……為什麼要扯這些？不是要扯基本初等函數求導法則的嗎？

哈哈，原因有兩個：

這些規則隻利用了導數的定義，沒有利用任何函數的求導結果

後面我們将看到，所有基本初等函數的求導就是借助這些規則加上少數的函數的求導結果形成的。而那少數函數的求導，可以完全借助導數的定義進行。

因此，我們最終的目的就是向大家展示，「從導數定義出發，所有基本初等函數的導數都是從導數定義求出來的，而不是背下來的！」

“小角近似”，yyds

相信無論是搞過高中物理競賽的小夥伴還是大學學過高等數學的小夥伴，一定對下面這個近似非常熟悉：當時，。

這是為啥呢？我們現在還在求導，所以什麼導數，泰勒展開啥的，全都不能用。那又怎麼去說明這個關系呢？

沒關系，代數不夠，幾何來湊！華羅庚先生倡導的數形結合咱要用嘛！看下面的圖：

圖中，弧AB是以O為圓心，半徑為的圓弧。設O點處的角大小為（弧度制），則AB弧長顯然為。過B作OA的垂線BH，顯然BH長為。過A點作OA的垂線（也就是圓弧的切線）并交OB所在直線于C點，顯然AC長為。而時，AB的弧度越來越小，弧AB和線段BH以及線段AC越來越趨近于重合，從而它們的長度也應該越來越“一緻”，從而。用更專業的說法，應該寫成：

這兩個關系統稱為小角近似。本文中，利用前一個關系就夠了。

從正弦函數到所有三角函數

我們先來嘗試求解正弦函數的導數：

從而：

借助正餘弦的導數，正切函數的導數為：

至此，（高中階段的）三角函數求導完成。

常數，何方神聖？

我們在高中數學的一開始就學過，是一個非常重要的科學常數。它的值為，是一個無理數。我們在高中時，沒有對這個常數做非常深入的講解，隻是簡單提了一句：

而實際上常數真的是這麼定義的嗎？

我們知道，極限這個概念，是高等數學的基礎。而我們在剛開始學高等數學的時候，就一定接觸過下面這個重要的數列：

學過高等數學的小夥伴一定知道，這個數列有極限。還記得我們是怎麼證明的嗎？

咱不妨複習一下：首先，根據二項式定理：

那麼：

由于顯然随着的增大而遞增，所以對于任意給定的，都随遞增。不僅如此，随着的增大，參與加和的項還在越來越多。因此，單調遞增。

時，顯然有

可見，數列單調遞增又有上界，因此它的極限必然存在。而常數的定義，就是這個數列的極限。也就是說：

這裡我用三橫代替等号，以強調這是定義。

那，我們高中時候看到的那個階乘的表達式是咋回事呢？它和上面的定義是否等價呢？

我們還是從下面這個式子出發：

首先，，從而

當然，利用時容易證明是有限值。而另一方面，對于任意給定的，當足夠大時，

而是有限值，從而：

由此可見，

因而，這兩種定義方法是等價的。

向看齊！

剛才，我們已經證明了，數列是的忠實粉絲。那麼，還有什麼也要和套近乎呢？多了去了。這裡指出幾個對下面有用的：

(1)設，則

(2)設，則

(3)設，且。則

（4）設。當時，設滿足。 那麼，根據

用類似的方法可以證明：設，則

扯了半天，隻為自然對數求導

通過上面的讨論，想必大家對常數一定有了一個更深刻的認識。現在，我們對自然對數函數用導數的定義求導：

設。可見：

老天！原來我們是這樣得到的！如果我們仔細回味的話，「我們使用了這一性質。而這個性質的得到，追根溯源是依賴于的定義式：。」(，請注意我又一次使用了三橫)。換句話說：

「因為我們是那樣定義的，所以我們有這一關系！」

現在，我們可以求出一般的指對幂函數的導數了~

根據函數的乘法以及複合函數的求導法則：

(1) 設。則：

(2) 設。則：

其中，是一個變量代換。當然，容易驗證時上式也成立，從而可以說：設。則：。特别地，。

（3）設，，則：

若，，可以根據時這一關系驗證：總成立。【注：和最好不要同時為零，除非我們強行規定。這并不太合适。】

至此，指對幂函數求導完成！從而，高中所涉及的全部基本初等函數的求導都已經完成！這也就說明了，所有基本初等函數的導數都是從求導規則求出來的，而不是背下來的。

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