一、函數與方程思想：

1、函數思想：

把問題中的量分為變量和常量，并把這些量用字母表示；将量與量之間的關系，抽象、概括為函數模型；用運動、變化和對應的觀點，通過對函數模型的研究，利用函數的性質，使問題獲得解決。

2、方程思想：

把問題中的量分為已知量和未知量，并把這些量用字母表示；将問題中的條件，量與量之間的關系列為方程或不等式；通過解方程、不等式，或利用方程、不等式的性質，使問題獲得解決。

二、判别式法

代數判别式 （△ 法）和 三角判别法 （δ 法），它們是二次方程 ax^2 bx c = 0 和三角方程 asinx bcosx = c 的根的判别定理。

其來源是二次函數 y = x^2 和三角函數 y = sinx 的值域 。

1、代數判别式法（△ 法）

設 f（x）= ax^2 bx c （a ≠ 0），則 △ = b^2 - 4ac 叫做二次方程 f（x）= 0 或二次函數 f（x）的判别式。

判别定理：實系數二次方程 ax^2 bx c = 0（a ≠ 0）根的情況分類如下：

例題3圖（1）

的值域 。

解 ：原式 等價于 y ( x^2 x 1 ) = x^2 - x 1 ;

等價于 ( y - 1 ) x^2 ( y 1 ) x y - 1 = 0 ① ;

當 y ≠ 1 時 ， △x = (y 1 ) ^2 - 4( y - 1 ) ^2 ≥ 0 解得 1/3 ≤ y ≤ 3 ( y ≠ 1) 。

當 y = 1 時 ， 方程 ① 化為 2x = 0 , 即 x = 0 , 故有 y = 1 。

綜上，函數的值域為 【1/3 , 3】。

例題4、求函數

例題4圖（1）

的值域 。

解：原式等價于 y ( 1 - cosx） = sinx - 4cosx

将上式化為關于 sinx , cosx 的三角方程 ：

sinx (y - 4 ) cosx = y

δx = 1^2 (y - 4 )^2 - y^2 ≥ 0 ;

等價于 17 - 8y ≥ 0 ,

解得函數 y 的值域 ：（- ∞ ， 17/8 ] 。

例題5、求雙曲線

例題5圖（1）

經過點 （-3,2）的切線方程 。

解題思路：

把雙曲線的參數方程代入切線的普通方程，構造三角方程，用三角判别法 。

解：設所求切線方程為 y - 2 = k ( x 3 ) , ①

雙曲線的參數方程是

例題5圖（2）

把 ② 代入 ① 得 ：

3 tanθ - 2 = k ( 4 secθ 3 ) ;

整理，得 3 sinθ - ( 2 3k ) cosθ = 4k ③ ;

由相切 等價于 δ = 0 ， 即

3^2 ( 2 3k )^2 - (4k)^2 = 0

解得 k = 1/7 ( 6 ± √127 ) ，

代入 ① ， 故所求切線方程為 ：

y - 2 = 1/7 ( 6 ± √127 ) ( x 3 )

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