為什麼我的分式方程多一個根？

伍家崗區2019年秋季學期八年級數學期末考試第23題，基于圖形面積的應用題，在題目逐步引導下列出分式方程并不是難事，然而在解方程的過程中，卻出現了一部分學生得出兩個根（有一個是增增根）的情況，這又是為什麼呢？

題目

某農場有一塊長方形土地，長BC=4n米，寬AB=(4n-2)米(n>1)，按如圖所示分成九個區域，其中四周陰影部分外圍均為相同的正方形，種植甲類作物。中間陰影部分外圍是長為(2n 1)米的長方形，種植乙類作物。

(1)用含n的式子表示種植甲類作物的一個正方形邊長為________，種植乙類作物的長方形的寬為__________；

(2)請你判斷哪類作物的種植面積大？為什麼？

(3)若兩類作物的總産量相同均為2520千克，每平方米産量高的比低的多240/(2n-1)²千克，試求種植甲類作物的面積。

解析：

(1)種植甲類作物的正方形邊長=[BC-(2n 1)]÷2=n-0.5，種植乙類作物的長方形的寬=AB-2(n-0.5)=2n-1；

(2)先表示出甲乙兩類作物各自的面積，甲類作物面積=4(n-0.5)²=(2n-1)²=4n²-4n 1，乙類作物面積=(2n-1)(2n 1)=4n²-1，用作差法比較如下：

甲類作物面積-乙類作物面積=-4n 2

由于n>1，因此-4n 2<0

∴甲類作物面積<乙類作物面積；

(3)根據上題的結論，我們可以知道，甲每平方米産量高于乙每平方米的産量，因為總産量相同，于是作物面積小的每平方米産量一定高，所以得到等量關系是：

甲每平方米産量-240/(2n-1)²=乙每平方米産量

列方程如下：

2520/(2n-1)²-240/(2n-1)²=2520/4n²-1

咋看上去是一個含2次式的分式方程，不過在解的過程中，是可以化為一元一次方程的，正常化簡過程如下：

可偏偏就有不太“正常”的解法，如下圖：

幸好這位同學還記得驗根，發現n=0.5是增根，于是結果倒也正确，n=10。

解題反思：

為什麼會出現這樣的情況呢？

在第二位同學的解法中，交叉相乘，實質上是兩邊同乘(2n-1)²(4n²-1)這個式子，比起第一種解法中兩邊同乘的(2n-1)²(2n 1)多出了一個因式。

我們知道，兩邊同時乘的因式次數過高，會導緻得到的方程次數較高，兩邊同乘的因式是3次，分母中的式子為2次，最終得到的就是一元一次方程，而兩邊同乘的是因式是4次，得到的就是一元二次方程。

其實在我看來，第二位同學做複雜了，在八年級學習分式方程的時候，去分母這一步，講得明明白白，兩邊同乘的是最簡公分母，正如解法一，而解法二兩邊同乘的并不是最簡公分母，所以導緻結果出現高次方程，雖然這位學生借助因式分解完成了解一元二次方程，但過多消耗了精力在這道題上，并不劃算。

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