本文将梳理平行四邊形的性質，并且圍繞平行四邊形的性質進行證明，同時解決平行四邊形背景下的面積計算。

1、平行四邊形的定義：

兩組對邊分别平行的四邊形是平行四邊形。

2、平行四邊形的性質定理：

平行的四邊形的對邊相等；

平行四邊形的對角相等；

平行四邊形的對角線互相平分；

平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩條對角線的交點。

3、平行線的距離：

兩條平行線中一條直線上的任意一點到另一條直線的就距離；

兩平行線的距離處處相等；夾在兩平行線間的平行線段相等。

1、與角相關的證明與計算：

① 已知，平行四邊形ABCD中，∠A:∠B:∠C:∠D的值可以是( )

A、1:2:3:4；B、3:4:4:3；

C、3:3:4:4 ；D、3:4:3:4.

解析：平行四邊形的對角相等，鄰角互補。因此，角之間的關系是∠A=∠C；∠B=∠D，由此可見，D選項正确。

② 在平行四邊形ABCD中，如果AB=8，AD、BC之間的距離為4，求∠A度數。

解析：本題有兩種情況，當∠A為銳角時，如圖1，此時∠A=30°；當∠A為鈍角時，如圖2，此時∠B=30°，∠A=150°，綜上，∠A=30°或150°。

③ 在平行四邊形ABCD的一個銳角向對邊作兩條高，如果兩條高的夾角為135°，求平行四邊形各個内角的度數。

解析：本題需要根據題意畫出圖形，利用幾組幾組相等的内錯角以及同角的餘角相等，求出平行四邊形各個内角的度數。

2、與邊相關的證明與計算：

① 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，AM=DM，

求證：(1) AE=AB；(2)如果BM平分∠ABC，求證:BM⊥CE.

解析：平行四邊形 角平分線，往往會出現等腰三角形。本題的第2問可以通過證明▲AEM為等腰三角形，利用三線合一來證明BM⊥CE；也可以利用AB=AE=AM，利用角之間的關系證明BM⊥CE.

② 已知，如圖，在平行四邊形ABCD中，E為AB中點，DF⊥BC，垂足為F.

求證：∠AED=∠EFB.

解析：本題根據中點性質，既可以利用倍長中線法證明，也可以構造中位線證明。

3、與對角線相關的證明與計算：

① 如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,BD交于點O,過點O的直線交AD,CB的延長線于點E、F。請找出圖中所有的全等三角形。

② 在周長為20厘米的平行四邊形ABCD中，AB≠AD，AC、BD相交于點O，OE⊥BD交AD于點E，則▲ABE的周長為多少？

解析：利用OE是BD的垂直平分線，得到BE=DE，将▲ABE的周長轉化為AB AD.

補充：若BC>AB，則▲BOC與▲AOB的周長差為(BO OC BC)-(BO AO AB)=BC-AB。

4、與底角平分線相關的證明與計算：

在平行四邊形中，做一個角的角平分線就會産生等腰三角形；特别地，如果做兩個同旁内角的角平分線就會産生垂直。

① 平行四邊形ABCD中，∠A的平分線分别分BC成5厘米和3厘米兩段，則這個平行四邊形的周長為多少？

解析：畫圖後進行分類讨論，利用平行 角平分線→等腰三角形。這三者之間存在互推的關系（已知2→1）。

① 平行四邊形ABCD中，AB=8，∠C=60°，∠A的平分線與∠B的平分線相交于點E，EF⊥AB，求EF的長.

解析：利用同旁内角角平分線互相垂直以及30°角的性質求解。

1、基本圖形中的面積關系：

2、平行四邊形背景下與面積相關的問題：

① 如圖，在平行四邊形ABCD中，點F在DC延長線上，聯結AF交BC于點E，聯結BF,DE，求證：S▲ADE=S▲BAF.

解析：要證明▲ADE的面積=▲BAF的面積，從圖中可以看出這兩個三角形的面積都等于平行四邊形面積的一半，所以結論可證。

② 如圖1，E為平行四邊形ABCD内一點，試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關系；如圖2，E在平行四邊形ABCD邊CD所在直線上方，試探索▲ADE、▲BCE、▲ABE、▲DCE面積之間的關系.

解析：借由前面的解題思路，通過過點E作垂線，計算四個三角形的面積，用平行四邊形的邊長表示相應的面積。

③如圖，設P為四邊形ABCD内一點，過點P分别作AB，AD的平行線交平行四邊形的四邊于E，F，G，H四點，若四邊形AHPE的面積為3，若四邊形PFCG的面積為5，求▲PBD的面積為多少？

解析：利用面積的和差以及相等的三角形面積進行計算。

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