在解決平行四邊形的問題時，有些題目直接證明可能比較困難，如果能借助平行四邊形的基本性質（對邊平行且相等、對角線互相平分、對角相等），添加适當的輔助線，巧妙地構造出新的平行四邊形，那麼就能達到化難為易的效果。

例題1：如圖，在△ABC中，D為AB的中點，E為AC上一點，BE∥DF，BD∥EF，DF交AC于G.求證：AG＝EG.

分析：本題可以通過一組對邊平行且相等構造平行四邊形。通過“BE∥DF，BD∥EF”可以證明四邊形BEFD為平行四邊形，點D為AB的中點，那麼AD=BD，因此連接DE、AF可證明四邊形ADFE是平行四邊形，根據平行四邊形的對角線互相平分可得結論。當然，本題也可以證明△AGD≌△EGF。

證明：∵BE∥DF，BD∥EF，

∴四邊形BEFD是平行四邊形．

∴EF＝BD.

∵D為AB的中點，

∴AD＝BD，

∴EF＝AD.

如圖，連接DE，AF，

∵EF∥AD，

∴四邊形ADEF是平行四邊形．

∴AG＝EG.

例題2：如圖，在平行四邊形ABCD中，E，G，F，H分别是四條邊上的點，且AE＝CF，BG＝DH.求證：EF與GH互相平分．

分析：證明EF與GH互相平分，證明兩個三角形全等不容易實現，可以連接HE、EG、FG、HF，證明四邊形HEGF為平行四邊形，平行四邊形的對角線互相平分。而要證明平行四邊形，可以通過證明△HAE≌△GCF、△HDF≌△GBE，得到HF=EG、HE=FG，兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形。

證明：如圖，連接HE，EG，GF，FH

∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴∠A＝∠C，AD＝CB.

∵BG＝DH，

∴AH＝CG.

又∵AE＝CF，

∴△HAE≌△GCF，

∴HE＝FG.

同理可證HF＝EG.

∴四邊形EGFH是平行四邊形．

∴EF與GH互相平分．

例題3：如圖，平行四邊形ABCD的對角線AC和BD相交于點O，E，F分别為OB，OD的中點，過點O任作一直線分别交AB，CD于點G，H.求證：GF∥EH.

分析：要證明GF∥EH，可連接GE、FH，證明四邊形GEHF為平行四邊形，已經具備OE=OF，可再證明△AOG≌△COH得到OG=OH，對角線互相平分的四邊形為平行四邊形。根據平行四邊形的性質即可得到對邊平行。

證明：如圖，連接GE，FH.

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AB∥CD，

∴∠BAO＝∠DCO.

又∵∠AOG＝∠COH，

∴△AOG≌△COH，

∴OG＝OH.

∵E，F分别為OB，OD的中點，

∴OE＝1/2OB＝1/2OD＝OF，

∴四邊形EHFG是平行四邊形．

∴GF∥EH.

例題4：如圖，在四邊形BCED中，DE∥BC，延長邊BD，CE交于點A，在邊BD上截取BF＝AD，過點F作FG∥BC交EC于點G.求證：DE＋FG＝BC.

分析：證明DE＋FG＝BC可以利用截長補短法，本題通過一組對邊平行且相等構造平行四邊形，然後再證明一次三角形全等即可。

證明：如圖，過點F作FM∥AC交BC于點M，

則四邊形FMCG是平行四邊形，∠BFM＝∠A.

∵DE∥BC，∴∠EDA＝∠B.

又BF＝AD，

∴△BFM≌△DAE，

∴BM＝DE.

∵四邊形FMCG是平行四邊形，

∴FG＝MC，

∴DE＋FG＝BM＋MC＝BC.

通過構造平行四邊形可以證明線段相等、線段互相平分、線段平行、線段的和差關系等，學會構造平行四邊形也是我們需要掌握的一種技能。

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