(a b)的n次方的展開式是：C(n,0)a^nb^0 C(n,1)a^(n-1)b C(n,2)a^(n-2)b^2 … C(n,n-1)ab^(n-1) C(n,n)a^0b^n. 當然你也可以把它寫成C(n,0)b^na^0 C(n,1)b^(n-1)a C(n,2)b^(n-2)a^2 … C(n,n-1)ba^(n-1) C(n,n)b^0a^n.

其中C(n,m)是一個組合數，即從n中取m個數，有幾種組合方式，它的公式是C(n,m)=n!/[m!(m-n)!]. 舉個例子，(a b)^3=C(3,0)a^3b^0 C(3,1)a^2b C(3,2)ab^2 C(3,3)a^0b^3=a^3 3a^2b 3ab^2 b^3. 需要注意的是C(n,m)=C(n,n-m)，所以這個展開式中的系數是對稱的。

這個展開式稱為牛頓二項展開式，這是偉大的科學家牛頓推導出來的，并且他還把指數推廣到有理數的範圍。學生階段基本上隻用到正整數指數部分的公式，也就是這篇文章主要講的這個公式。有理數指數的牛頓二項展開式可以稱為廣義二項展開式，而整數指數展開式則稱為狹義二項展開式。

想一想300多年前的人，數學理論并不如現在這麼齊全，而牛頓就能推導出來我們現在絕大部分人還無法推導出來的公式，可見像牛頓這樣的科學家有多麼偉大，簡直就是神一樣的存在。下面老黃分享一下狹義二項展開式，運用現代數學的方法，是怎麼推導出來的。

這裡運用的是數學歸納法的思想，先證明當n=1時的特殊情況，很明顯的(a b)^1=a b=C(1,0)a^1b^0 C(1,1)a^0b^1，符合二項展開式的形式。為了下面推導的方便，寫成求和符号的形式，即等于∑(k=0,1)C(1,k)a^(1-k)b^k.

接下來就可以假設當n=m時，二項展開式成立，即(a b)^m=∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k. 然後求(a b)^(m 1)=a(a b)^m b(a b)^m=a∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k b∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k=∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k 1)b^k ∑(k=0,m)C(m,k)a^(m-k)b^k 1=a^(m 1) ∑(k=1,m)C(m,k)a^(m-k)b^k ∑(k=1,m)C(m,k)a^(m-k)b^k b^(m 1)=a^(m 1) ∑(k=1,m)C(m,k)a^(m 1-k)b^k ∑(k=1,m)C(m,k)a^(m 1-k)b^k b^(m 1)=a^(m 1) ∑(k=1,m)2C(m,k)a^(m 1-k)b^k b^(m 1)=∑(k=0,m 1)C(m 1,k)a^(m 1-k))b^k，也符合二項展開式的形式。

由數學歸納法的思想，就可以知道狹義牛頓二項展開式(a b)^n=∑(k=0,n)C(n,k)a^(n-k)b^k. 牛頓二項展開式在數學學習中的應用非常廣泛，是一定要掌握的知識。

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