在中考試卷中有一類二次函數背景下的存在性問題，比如，二次函數背景下的特殊三角形存在性問題，特殊四邊形存在性問題.本講就二次函數背景下平行四邊形存在性問題的解法作一詳細的探究，以期同學們心領神會，中考時再多得幾分.

二次函數背景下平行四邊形存在性問題常見的有三類，一類是，三定一動型(較易)，另一類是，兩定兩動型(較難且常考)，還有一類是，一定三動型(難而少見).本講以一例中考題對第第二類進行探究.

【題目呈現】

☞如圖，抛物線y=一x² bx c與x軸分别交于A(一1，0)，B(5，0)兩點.

(1)求抛物線的解析式;

(2)在第二象限内取一點C，作CD垂直x軸于點D，連接AC，且AD=5，CD=8，将Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位，當點C落在抛物線上時，求m的值;

(3)在(2)的條件下，當點C第一次落在抛物線上記為點E，點P是抛物線對稱軸上一點，試探究:在抛物線上是否存在點Q，使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點Q的坐标;若不存在，請說明理由.

【分析】(1)較易，隻須将A，B兩點坐标代入抛物線的解析式，解方程組即可，得b=4，c=5，∴抛物線的解析式為y=一x² 4x 5.

(2)∵AD=5，且OA=1，∴OD=6，又CD=8，∴C(一6，8)，設平移後點C的對應點為C'，則C'點的縱坐标為8，代入抛物線解析式可得8=一x² 4x 5，解得x=1或x=3，∴C'點的坐标為(1，8)或(3，8)，∴當點C落在抛物線上時，向右平移了7或9個單位，∴m的值為7或9.

(3)是本題的重點，坐标系下的問題一般有三類解法，一是，純幾何解法，根據條件運用幾何有關定理，推論，推證出問題;二是，純代數解法，設出點的坐标，依據條件列出方程，解出結果;三是，幾何代數混合解法。三種解法各有特點，混合解法往往優缺互補，為大多人所喜好，當然，對于不同的題目，同學們應具體分析，使用最簡捷的方法。

※幾何代數混合解法

首先求出抛物線的對稱軸為直線x=2，由于點P在對稱軸上運動，可設P(2，t)，由(2)可知E點坐标為(1，8)，點Q在抛物線上，可設Q(x，y)，因E，B兩點确定，采取抓不變量的策略，以不變應萬變，為實現以靜制動的目的，需分類讨論:

①當BE為平行四邊形的邊時，記BE交對稱軸于點M，過E作EF⊥x軸于點F，此時PQ也為平行四邊形的邊，過Q作對稱軸的垂線，垂足為N，如圖.(另一種情況用紅線标出).

易知∠BEF=∠BMP=∠QPN，∠PNQ=∠EFB=90°，PQ=BE，∴△PQN≌△EBF，∴NQ=BF=OB一OF=4，這時我們注意PQ做邊時有兩種情況，為了簡化運用，或者說不明确點Q在對稱軸的哪一方時，用絕對值表示NQ的長可避免繁瑣的讨論，則NQ=|x一2|=4，解得x=一2或x=6，當x=一2或x=6時代入抛物線的解析式可得y=一7，∴Q點坐标為(一2，一7)或(6，一7);

②當BE為平行四邊形的對角線時，PQ也為平行四邊形的對角線，線段BE的中點D也為線段PQ的中點，∵B(5，0)，E(1，8)，∴中點D的坐标為(3，4)，∴x 2=3×2，解得x=4，把x=4代入抛物線的解析式，得y=5，∴Q(4，5)，如圖，

綜上可知，Q點的坐标為(一2，一7)或(6，一7)或(4，5).

※平移法

我們知道，在平移變換中，隻改變圖形的位置，不改變圖形的大小，且對應點的連線平行(或在一直線上)，而平行四邊形對邊平行且相等，可看成一條線段按某一方向平移一定的距離而形成，線段平移後形成平行四邊形的對邊，線段的兩端點與其對應點的連線段形成平行四邊形的另一組對邊，基于此，

當EB做平行四邊形的邊時，試着平移EB，可得到兩種情況的平行四邊形，如下圖的(1)與(2)，(簡化圖)

如圖(1)，點E(1，8)平移到點B(5，0)時，向右平移4個單位，向下平移8個單位，則點P(2，t)也作同樣的平移變換到點Q(x，y)，則2 4=x，(這裡隻求點Q的橫坐标)，代入函數解析式可求得點Q的縱坐标y=一7，∴點Q(6，一7).

如圖(2)，點E(1，8)平移到點B(5，0)時，向右平移4個單位，向下平移8個單位，則點Q(x，y)也作同樣的平移變換到點P(2，t)，則x 4=2，∴x=一2(這裡隻求點Q的橫坐标)，代入函數解析式可求得點Q的縱坐标y=一7，∴點Q(一2，一7).

當BE做對角線時，仿照幾何代數混合解法求得點Q的坐标(4，5).如上圖(3).

※代數法

我們知道平行四邊形的對角線互相平分，一條對角線的中點也是另一條對角線的中點，如圖

在平行四邊形ABCD中，設A點坐标為(xA，yA)，B點坐标為(xB，yB)，C點坐标為(xC，yC)，D點坐标為(xD，yD)，由中點坐标公式可得，xO=(xA xC)/2=(xB xD)/2，yO=(yA yC)/2=(yB yD)/2，即xA xC=xB xD，yA yC=yB yD，這是通用的兩個公式，若知三點坐标可求第四點的坐标，通過上面的解法發現，抓住某一點分别與其餘三點連線為對角線，可以不重不漏地分類所有情況，所以，

①當EB做對角線時，PQ也為對角線，則，xE xB=xP xQ，即1 5=2 xQ，得xQ=4，代入函數解析式可得yQ=5，當然用yE yB=yP yQ可求得點P的縱坐标，由于本題隻求點Q的坐标，求點P的坐标不再叙述(下同).

②當EP做對角線時，可得，xE xP=xB xQ，即1 2=5 xQ，得xQ=一2，代入函數解析式得yQ=一7.

③當EQ做對角線時，可得xE xQ=xB xP，即1 xQ=5 2，得xQ=6，代入函數解析式得yQ=一7.

綜上所述，點Q的坐标為(一2，一7)或(6，一7)或(4，5).

以上就是對于平行四邊形存在性問題的解法，同學們看後自己體會每種方法的優缺點，具體到不同的題目，靈活運用某一種方法，力求簡捷明快，得心應手。

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