所謂矩形存在性問題，即在坐标系中确定動點位置，使其與其他點等構成矩形，本文将對題型構造及解決方法作簡單介紹．首先關于矩形本身，我們已經知道：

矩形的判定

（1）有一個角是直角的平行四邊形；

（2）對角線相等的平行四邊形；

（3）有三個角為直角的四邊形．

01

問題與方法

題型分析

矩形除了具有平行四邊形的性質之外，還有“對角線相等”或“内角為直角”，因此相比起平行四邊形，坐标系中的矩形滿足以下3個等式：

（AC為對角線時）

因此在矩形存在性問題最多可以有3個未知量，代入可以得到三元一次方程組，可解．

确定了有3個未知量，則可判斷常見矩形存在性問題至少有2個動點，多則可以有3個．

題型如下：

（1）2個定點 1個半動點 1個全動點；

（2）1個定點 3個半動點．

思路1：先直角，再矩形

在構成矩形的4個點中任取3個點，必構成直角三角形，以此為出發點，可先确定其中3個點構造直角三角形，再确定第4個點．對“2定 1半動 1全動”尤其适用．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐标．

【小結】這種解決矩形存在性問題的方法相當于在直角三角形存在性問題上再加一步求D點坐标，也是因為這兩個圖形之間的密切關系方能如此．

思路2：先平行，再矩形

當AC為對角線時，A、B、C、D滿足以下3個等式，則為矩形：

其中第1、2個式子是平行四邊形的要求，再加上式3可為矩形．表示出點坐标後，代入點坐标解方程即可．

無論是“2定1半1全”還是“1定3半”，對于我們列方程來解都沒什麼區别，能得到的都是三元一次方程組．

引例：已知A（1，1）、B（4，2），點C在x軸上，點D在平面中，且以A、B、C、D為頂點的四邊形是矩形，求D點坐标．

【小結】這個方法是在平行四邊形基礎上多加一個等式而已，剩下的都是計算的故事．

02

中考真題

2018鐵嶺中考删減

【構造直角得矩形】

如圖，抛物線y=-x² bx c交x軸于點A，B，交y軸于點C．點B的坐标為（3，0）點C的坐标為（0，3），點C與點D關于抛物線的對稱軸對稱．

（1）求抛物線的解析式；

（2）若點P為抛物線對稱軸上一點，連接BD，以PD，PB為邊作平行四邊形PDNB，是否存在這樣的點P，使得平行四邊形PDNB是矩形？若存在，請求出tan∠BDN的值；若不存在，請說明理由．

2019南充中考删減

【構造對角線互相平分且相等得矩形】

如圖，抛物線y=ax² bx c與x軸交于點A（-1，0），點B（-3，0），且OB=OC．

（1）求抛物線的解析式；

（2）抛物線上兩點M，N，點M的橫坐标為m，點N的橫坐标為m 4．點D是抛物線上M、N之間的動點，過點D作y軸的平行線交MN于點E．

①求DE的最大值；

②點D關于點E的對稱點為F，當m為何值時，四邊形MDNF為矩形．

2018遼陽中考删減

【2定 1半動 1全動】

如圖，直線y=x-3與坐标軸交于A、B兩點，抛物線y=1/4x² bx c經過點B，與直線y=x-3交于點E（8，5），且與x軸交于C，D兩點．

（1）求抛物線的解析式；

（2）點P在抛物線上，在坐标平面内是否存在點Q，使得以點P，Q，B，C為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點Q的坐标；若不存在，請說明理由．

2018曲靖中考

【1定 3半動】

如圖：在平面直角坐标系中，直線l：y=1/3x-4/3與x軸交于點A，經過點A的抛物線y=ax²-3x c的對稱軸是x=3/2．

（1）求抛物線的解析式；

（2）平移直線l經過原點O，得到直線m，點P是直線m上任意一點， PB⊥x軸于點B， PC⊥y軸于點C，若點E在線段OB上，點F在線段OC的延長線上，連接PE，PF，且PF=3PE．求證：PE⊥PF；

（3）若（2）中的點P坐标為（6，2），點E是x軸上的點，點F是y軸上的點，當PE⊥PF時，抛物線上是否存在點Q，使四邊形PEQF是矩形？如果存在，請求出點Q的坐标，如果不存在，請說明理由．

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