“一别之後，二地相思。隻說是三四月，又誰知五六年。七弦琴無心彈，八行書不可傳，九連環從中折斷，十裡長亭望眼穿。百思想，千系念，萬般無奈把郎怨。”

在我們的數學學習過程中，充斥着大量的數學口訣，比如“奇變偶不變，符号看象限”，“上加下減，左加右減”，“負負得正”，“移項要變号”……倘若帶着這些口訣穿越回古代，必可成為暗語第一人。試想一下，月黑風高的深夜，幾聲沉悶的敲門聲後躲着一個黑衣人，門内：“上加下減”，門外：“左加右減”。門瞬間打開，兩人深情握手！

今天我們對其中的一個口訣，提出一個尖銳的問題：“負負得正好像是鐵一般的事實，那麼為什麼會負負得正呢？”相信很多朋友會一時錯愕的回答不出來，既使想一想也不一定能說出個一二三來。好像“負負得正”這句話沒有什麼需要解釋的，數學中默認的規矩，也許當年讀初中時老師就是這麼要求的，背下來就好了，背下來題也會做了，計算速度也快了，一口氣刷5套數學題不費勁兒！

事實上，看似很簡單的“負負得正”，經曆了大起大落的曆史。要想弄明白“負負得正”，不得不先對“負數”提出點意見，事實也的确如此，就“負數”而言，一直以來它都不是被人們愉悅的接受的，“負數”從提出，到被人們所接受，雖然不能說是曆經“九九八十一難”，但也是體現了“真金不怕火煉”的心酸曆程。

負數的曆史為什麼要有負數？

在幾百年前，負數不被人們普遍接受，即便是數學家。直到19世紀中葉，負數才成為一等公民。

數字源于對自然物的記錄，比如：今天打了5隻羊，8隻兔子，自然數的出現就理所應當了。而分數僅僅是改良了的整數，比如：2/5米，就是将一米分成5部分，然後取其中2部分而已。因此，古希臘的畢達哥拉斯學派的“萬物皆數”理念才能有令人“宗教”般的崇拜，而他們的“數”指的就是整數，認為世間的一切均可以用整數表示，并且當時的人們對此深信不疑。

在計數的過程中，最小的數必然是什麼都沒有，也就是數字0，怎麼能有比“什麼都沒有”還小的數出現呢？這是一個非常令人費解的問題，這樣的問題又有什麼實際意義呢？

為了解釋這個問題的實際意義，我們在此列舉兩個數學問題，在小學奧數中它們也叫做“年齡問題”，當然我們的題目并不難。

問題一：“哥哥今年7歲，妹妹2歲，那麼幾年後哥哥的年齡比妹妹的大一倍？”

問題二：“哥哥今年18歲，妹妹11歲，那麼幾年後哥哥的年齡比妹妹的大一倍？”

設x年後，哥哥的年齡比妹妹的大一倍。列方程，解方程：

問題一：7 x=2（2 x）；解得：x=3

問題二：18 x=2（11 x）；解得：x=-4

對于問題一，答案很自然，3年後哥哥的年齡比妹妹的大一倍。而對于問題二的負解，也是有實際意義的，可以答成4年前哥哥的年齡比妹妹的大一倍。

看起來很講理吧，但是當時的人們并不這麼認為，人們認為負數的答案是荒謬的，至于為什麼出現了負數的答案，那是因為本身的題目就是錯誤的，問題二應該被問成“幾年前哥哥的年齡比妹妹的大一倍”。答案自然就是正數4了。

數學家的困惑

前文提到，即便是數學家，也對負數有抵觸情緒，下面我們來細數幾位數學大咖，看看他們對于負數的苦惱！

古希臘的丢番圖，在《數論》第五卷第二題中，得到方程4x 20=4，他認為，某物的4倍再加20，不可能等于4，這是荒謬的，在他的數字字典中，隻接受正的有理數。

古希臘的丢番圖

阿拉伯數學家阿爾-花剌子模，認識到一元二次方程有兩個根，但隻有當它們都是正數的時候才是。這也許基于是他求解一元二次方程的方法，他解方程的方法非常精彩，利用長方形的面積和邊長，故而他認為如果解是負數将是無意義的。

阿拉伯數學家阿爾-花剌子模

法國數學家韋達，沒錯，就是韋達定理的韋達，他也拒絕接受負數，認為當負數作為方程的解出現時，它們被稱為“虛解”，“假根”。如果負數被接受為數字，會使計算非常的混亂。比如：方程x²-2x 2=0，根據求根公式，可以得到方程的根是1 √-1,1-√-1，直接導緻了負數出現了平方根！

法國數學家韋達

法國數學巨匠笛卡爾，認為涉及負數的平方根是“想象的”，比如對于方程x4=1，有一個真實根（ 1），一個假根（-1），兩個想象的根（ √-1）和（-√-1）。順便提一句，雖然當今我們使用的直角坐标系，就是以笛卡爾命名的直角坐标系，但是當時笛卡爾所使用的坐标系并不像今天的坐标系一樣，它的構圖主要涉及正數，對于x軸y軸負半軸的的概念完全沒有出現。

法國數學巨匠笛卡爾

安托萬·阿爾諾，法國神學家，邏輯學家和哲學家，他說如果-1小于1，那麼在比例式-1:1=1：-1中，表明較小的數比較大的數，竟然等于較大的數比較小的數，這簡直太扯了！（好有道理啊！）

約翰·沃利斯認為負數比無窮大還要大，他在《無窮算術》中說到，比如3/1>3/2，說明分母越小，而數越大，因此3/0就是無窮大，現在問題來了，如果-1<0，說明3/-1應該比3/0還要大，也就是-3比無窮大還要大！

以上幾位數學家的困惑是否曾經困擾着你?事實上，數學家們對于應用負數進行計算是沒有問題的，主要是不能理解這個概念本身。

阿拉伯數學家和古希臘數學家都懂得如何将（x-a）（x-b）展開，也就是他們是明确的清楚負負得正，負正得負的。

負數如何被接受

1831年，在那個蒸汽機車剛剛透露出一絲曙光的年代，英國邏輯學家奧古斯都·德·摩根寫道：“想象的表達式√-a與負的表達式-b有某種相似之處，就實際意義而言，兩者都是想象的，因為它們都難以想象。”這是面對越來越抽象的代數方法時，一個沒落的傳統最後的喘息。是的，随着代數方法和數字結構越來越完善，在高斯、伽羅瓦、阿貝爾等人的不懈努力中，代數方程的研究演變成代數系統的研究。簡而言之，實際上是數學變抽象了，不那麼講究實際了。在更抽象的環境中，數字本身“真實”的意義與它們之間的操作關系變得不那麼重要了！數學界終于接受了負數的身份。在完善的數學體系下，負數和正數一樣，不分伯仲，終于不再是别人家的孩子！

英國邏輯學家奧古斯都·德·摩根

為什麼負負得正？

最後讓我們一起回到“負負得正”這個話題，我們先用兩個小模型，去解釋一下為什麼“負負得正”。

模型一：債務模型

大數學家歐拉就曾經用債務的說法去解釋負數的存在，他在《代數指南》中說：負數被視為債務，正數代表真實的财産，因此，當一個人一無所有，還欠下50枚硬币時，毫無疑問，他有-50枚硬币，如果有人給他一份50枚硬币的禮物的時候，他将還清他的債務，變得一無所有，雖然他比以前富有了。

一人每天欠債5元，給定一個日期，在那一天他擁有0元，3天後将欠債15元。如果将5元的債務記為-5，那麼3天後，他的債務可以用數學來表達為：3×（-5）=-15。同樣，一人每天欠債5元，那麼他在給定日期（0元）的3天前，他的财産比給定日期的财産多15元，如果我們用-3表示3天前，用-5表示每天的欠債，那麼3天前他的經濟情況就可以表示為（-3）×（-5）=15，從而說明了“負負得正”！

模型二：講一個故事

假設老王是一個小島的主人，在這個小島上生活着許許多多的人。現在作以下規定：小島上 的好人用正數（＋）表示，壞人用負數（－）表示；進入小島用正數（＋）表示，出島用負 數（－）表示。對于小島來說，好事用正數（＋）表示，壞事用負數（－）表示。

現在，假設有一個人要進入（＋）你的小島，如果他是一個好人（＋），那麼對王島主來說，這是一件好事（＋），所以（＋）ｘ（＋）＝＋；如果他是一個壞人（－），那麼對王島主來 說，就是一件壞事（－），所以（＋）ｘ（－）＝－。假設一個人要出島（－），如果他是一個好人（＋），那麼對王島主來說，是一件壞事（－），所以（－）ｘ（＋）＝－，如果他是一個壞人（－），那麼對王島主來說，就是一件好事（＋），所以（－）ｘ（－）＝＋！所以，負負得正！

以上兩個模型僅僅是對“負負得正”的解釋，并不是證明，但是對于那些喜歡刨根問底的小朋友來說，這并不能滿足他們的求知欲，下面給一個所謂的證明，為什麼說是所謂的證明，不妨看完過程，我們再議不遲！

反證法：

假設“負負得負”。即（－1 ）ｘ（－1 ）=（－1 ）

一方面， （－1）ｘ（＋1）＝（－1 ）ｘ［（＋2）＋（－1）］

＝（－1）ｘ（＋2）＋（－1）ｘ（－1）

＝（－1）ｘ（＋2）＋（－1）；

另一方面，（－1）ｘ（＋1）＝［（－2）＋（＋1）］ｘ（＋1）

＝（－2）ｘ（＋1）＋（＋1）ｘ（＋1）

＝（－2）ｘ（＋1）＋1。

從而我們得到（－1）ｘ（＋2）＋（－1）＝（－2）ｘ（＋1）＋1，得－3＝－1，導出矛盾，假設是錯誤的，故（－1）ｘ（－1）＝＋1。負負得正！

雖然上述的證明用了一個高大上的證明方法--反證法！但是該過程嚴重“依賴”交換律，分配律等運算法則，也就是說我們把正數的運算法則作用于負數運算的時候，負負必然得正，其實這也算是一個解釋說明，并不是證明！實際上，德國數學家漢克爾早就指出：在形式化的算術中，“負負得正”是不能被證明的，所以也不要試圖去證明符号法則的邏輯必要性。

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