太多似是而非的類比反而容易把思維引入漩渦。彎曲時空這個概念并不難。所以像物理學家一樣正經的理解就行了。

首先，你要記住這個重要的原則：彎曲空間不需要借助更高維度空間來理解。

什麼意思呢？你現在想象一個球面吧。

球面呢就是一個二維的彎曲空間。等等，現在你在腦子裡面想像的一定是一個三維球體的表面對不對？

敲腦袋，不準這樣想。彎曲空間不需要借助更高維度的空間來理解。 你要把你的想象力限制在二維空間裡面。你現在就是一隻渺小的爬在巨大球面上的螞蟻。球面特别巨大，你又不能飛到球面以外去。所以你看到的二維球面和二維平面好像也沒有什麼區别。

怎麼辦呢？

辦法是有的，球面在一個小局部看起來幾乎和平面一樣，但整體的幾何性質還是很不一樣的。你可以做一隻哥倫布。沿直線走，如果回到起點，那麼你可以宣布，這個二維空間是彎曲的！

但這個辦法很笨，你需要繞整整一圈，球面這麼大萬一路上累死了怎麼辦？所以下面我講一個更巧妙的辦法。

你先在地面上畫一根線段。然後走一步，再畫一根跟它平行的線段。再走一步，再畫一根跟之前的線段平行的線段，以此類推，就這樣一邊畫一邊走。同時你可以随便選一條閉合的路線繞回原點。這時候比較最後畫出來的那根線段和最初那根線段。（我們假設你是一隻很細緻的螞蟻，畫平行線的精度是完美的。）那，如果我們的二維空間是一個平面的話，最後那根線段一定和最初那根線段也是平行的。這很好理解。

但如果空間不是平面的話，兩根線段就可能會出現夾角，并且夾角跟你選擇的路線有關系。（比如你從北極出發走到赤道，再沿着赤道走四分之一圓周，再走回北極，保證每一根線段都畫在球面上并且在球面上完美平行。這時候最後和最初的兩會出現九十度的夾角。）

這是一個令人費解的結論。違背了我們關于普通平直空間的幾何直覺：任意相鄰的兩條線在這個空間裡都是平行的。但是繞一圈回來後首尾就不平行了。說明這個空間有問題呀！它彎掉了。

我們把上面的東西整理一下：一個矢量繞彎曲空間平行移動一個閉合路徑時，它的方向是有可能改變的。而且改變值跟具體的路徑相關。

其實不光是方向，在某些彎曲空間中，矢量的長度也會改變。我們說 一個矢量繞彎曲空間平行移動一個閉合路徑時，它的方向和長度是有可能改變的。改變值跟具體的路徑相關。

關鍵點來了！

矢量的長度改變是什麼意思？

首先所謂長度由兩部分構成：值和度規

比如一根線段長“2米”。“2”叫做這個長度的值，“米”叫做這個長度的度規。

一根線段長“2米”的意思就是：把“米”作為一個标準的單位長度，那麼這根線段有兩個标準長度這麼長。

矢量長度改變的意思就是：原來2米的線段，現在變成3米了。

這裡面包含兩種可能：

1，線段真的變成三米了。

2，“米”的标準變了，或者說，度規變了。

記住，這裡有問題的主要是空間。這裡長度改變的原因是第二個原因，度規在變。或者說，度規在彎曲空間中的各個點是不一樣的。

現在我們可以理解矢量平移出來夾角的悖論了。

螞蟻同學在一個彎曲空間裡面小心地平移一根線段。你測到相鄰兩點間的線段總是長度方向都一樣的。它很滿意~

但注意了，由于空間是彎曲的。這裡相鄰兩點的度規并不完全一樣。它們有一個差值，這個差值叫做聯絡。所以雖然你測到兩點的線段是平行的，但是由于兩點的度規已經不同了，所以你畫的兩個線段事實上已經不太一樣了。但由于相鄰兩點的度規差值，也就是聯絡，很小，你并不能立即發現。

但是你一直走啊走啊平移啊平移。度規的差值在你畫的線段上一點一點累加。終于，當你回到原點的時候，你發現你畫的棒子跟最開始的時候已經完全不一樣了。這一整圈累加的差值也有個名字，叫做曲率。

好了~感謝你自己的耐心吧。所以東西都講完了，現在是收獲的時候。

所謂平直空間就是：度規在空間各個點都一樣的空間。

所謂彎曲空間就是：度規在空間各個點不一樣的空間。

感謝你把想象力限制在二維吧，現在你理解三維彎曲空間也完全沒有問題了。

所謂三維彎曲空間就是：度規在三維空間各個點不一樣的空間。

更近一步

所謂彎曲時空就是：度規在四維時空各個點不一樣的空間。（四維時空也可以定義類似于長度的東西）

更近一步，甚至可以大緻知道廣義相對論在說什麼了。

所謂廣義相對論就是說：質量和動量(及其他們的流動)可以造成時空的度規在各個點你不一樣，可以把時空變彎。

作為廣相核心的愛因斯坦場方程：

等号右邊是表示質量動量的項，等号左邊是表示時空曲率的項。完美！

時空變彎之後時空中的地球啊月亮啊會沿着彎曲的時空運動啦。

愚蠢的二維螞蟻看不到二維空間的彎曲，它畫着線，咦？方向變了？ 愚蠢的三維人類看不到時空彎曲，咦？有引力？

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