浮點數精度問題?比特（bit，binary digit的縮寫）中文翻譯為“二進位數字”、“二進位” 或簡稱為 “位”，我來為大家科普一下關于浮點數精度問題?以下内容希望對你有幫助!

浮點數精度問題

比特（bit，binary digit的縮寫）中文翻譯為“二進位數字”、“二進位” 或簡稱為 “位”。

比特隻有 2 種取值：0和1，一般無大小之分。

如同DNA是人體組織的最小單位、原子是物質的最小組成單位一樣，比特是組成數字信息的最小單位。

數值、文字、符号、圖像、聲音、命令······都可以使用比特來表示。

比特的取值“0”和“1” 可表示兩種不同的狀态（例如電位的高/低、開關的斷開/接通）。

比特的運算使用邏輯代數，它有3種基本邏輯運算：

邏輯加（也稱“或”運算，用符号“OR”、“∨”或“＋”表示）。

邏輯乘（也稱“與”運算，用符号“AND”、 “∧”或“ · ”表示，也可省略）。

取反（也稱“非”運算，用符号“NOT”或上橫杠“¯”表示）。

兩個多位的二進制信息進行邏輯運算時，按位獨立進行，即每一位都不受其它位的影響：

例1

A:0110 ∨ B:1010 F: 1110

例2

A: 0110∧ B: 1010 F: 0010

表示一個比特需要使用兩個狀态：

電路的高電平狀态或低電平狀态(CPU)

電容的充電狀态或放電狀态(RAM)

兩種不同的磁化狀态(磁盤)

光盤面上的凹凸狀态(光盤)

···

存儲(記憶)1個比特需要使用具有兩種穩定狀态的元器件，例如：開關、燈泡等。

4.1 比特在CPU中的存儲

在計算機的CPU中，比特使用一種稱為“觸發器”的雙穩态電路來存儲。

觸發器有兩個狀态，可分别用來記憶0和1，1個觸發器可存儲1個比特。

一組（例如8個或16個）觸發器可以存儲1組比特，稱為“寄存器”。

CPU中有幾十個甚至上百個寄存器。

斷電後信息不再保持、為易失性存儲器！

4.2 比特在内存中的存儲

計算機存儲器中用電容器存儲二進位信息：當電容的兩極被加上電壓，它就被充電，電壓去掉後，充電狀态仍可保持一段時間，因而1個電容可用來存儲1個比特。

電容C處于充電狀态時，表示1

電容C處于放電狀态時，表示0

集成電路技術可以在半導體芯片上制作出以億計的微型電容器，從而構成了可存儲大量二進位信息的半導體存儲器芯片。

斷電後信息不再保持！

4.3 比特在外存儲器中的存儲

磁盤：利用磁介質表面區域的磁化狀态來存儲二進位信息。

光盤：隻讀光盤通過“刻”在光盤片表面上的微小凹坑來記錄二進位信息。

斷電後信息可以保持、為非易失性存儲器！

8個比特＝1個字節（byte，用大寫B表示）

計算機内存儲器容量的計量單位：

KB: 1 KB=2^10字節=1024 B （千字節） MB: 1 MB=2^20字節=1024 KB（兆字節） GB: 1 GB=2^30字節=1024 MB（吉字節、千兆字節） TB: 1 TB=2^40字節=1024 GB（太字節、兆兆字節）

外存儲器容量經常使用10的幂次來計算：

1MB＝10^3 KB ＝1 000 KB 1GB＝10^6 KB ＝1 000 000 KB 1TB＝ 10^9 KB = 1 000 000 000 KB

不同進位制前綴的使用場合:

内存、cache、半導體存儲器芯片的容量均使用二進制前綴：

512MB的内存條（ 1M＝2^20 ）

256KB 的cache（1K＝ 2^10 ）

文件和文件夾的大小使用二進制前綴。

頻率、傳輸速率等使用十進制前綴：

主頻 1GHz（1G＝10^9）

傳輸速率 100Mbps（1M＝10有^6）

外存儲器（硬盤、DVD光盤、U盤、存儲卡等）容量：

廠商标注的容量使用十進制前綴。

操作系統顯示的容量使用二進制前綴。

信息是可以傳輸的，信息隻有通過傳輸和交流才能發揮它的作用。

在數字通信技術中，信息的傳輸是通過比特的傳輸來實現的。

近距離傳輸時：直接将用于表示“0/1”的電信号或光信号進行傳輸（稱為基帶傳輸），例如：

計算機讀出或者寫入移動硬盤中的文件。

使用打印機打印某個文檔的内容。

遠距離傳輸或者無線傳輸時：需要使用調制技術。

比特的傳輸速率：

傳輸速率表示每秒鐘可傳輸的二進位數目，常用單位是：

比特/秒(b/s)，也稱“bps”。如 2400 bps(2400b/s) 千比特/秒(kb/s)，1kb/s=103比特／秒=1 000 b/s 兆比特/秒(Mb/s)，1Mb/s=106比特／秒=1 000 kb/s 吉比特/秒(Gb/s)，1Gb/s=109比特／秒=1 000 Mb/s 太比特/秒(Tb/s)，1Tb/s=1012比特／秒=1 000 Gb/s

“數”是一種信息，它有大小（數值），可以進行四則運算。

“數”有不同的表示方法。日常生活中人們使用的是十進制數，但計算機使用的是二進制數，程序員還使用八進制和十六進制數，它們怎樣表示？其數值如何計算？

8.1 十進制數

每一位可使用十個不同數字表示（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9）。

低位與高位的關系是：逢10進1。

各位的權值是10的整數次幂（基數是10 ）。

标志： 尾部加“D”或缺省。

例：

204.96=2×10^2＋0×10^1＋4×10^0＋9×10^－1＋6×10^－2

8.2 二進制數

每一位使用兩個不同數字表示（0、1），即每一位使用 1 個“比特”表示。

低位與高位的關系是：逢2進1。

各位的權值是 2 的整數次幂（基數是2 ）。

标志： 尾部加B

例：

101.01 B =1×2^2＋0×2^1＋1×2^0 ＋0×2^－1＋1×2^－2 ＝5.25

8.3 十六進制數

用十六進制數來表示二進制數，相當于二進制數來說，更直觀，因為4個二進制位可以用1個十六進制位來表示，因為二進制的1111等于十進制的15，也就是十六進制的F。十進制與二進制的位數對位沒有十六進制方便，一位十進制相當于約3.2位二進制。

每一位使用十六個數字和符号表示（0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F ）。

逢16進1, 基數為16。

各位的權值是16的整數次幂（基數是16 ）。

标志：尾部加H。

例：

F5.4H=15×16^1 5×16^0 4×16^－1 = 245.25

8.4 八進制數

一位八進制數可以表示三位二進制數，因為二進制的111也就是八進制的7。

每一位使用八個不同數字表示（0、1、2、3、4、5、6、7）。

低位與高位的關系是：逢8進1。

各位的權值是8的整數次幂（基數是8 ）。

标志：尾部加Q。

例：

365.2Q = 3×8^2 6×8^1 5×8^0 2×8^－1 = 245.25

熟練掌握不同進制數相互之間的轉換，在編寫程序和設計數字邏輯電路時很有用。

隻要學會二進制數與十進制數之間的轉換，與八進制、十六進制數的轉換就不在話下了。

9.1 十進制數→二進制數

轉換方法：

整數和小數分開轉換。

整數部分：除以2逆序取餘

小數部分：乘以2順序取整

例如：29.6875→ 11101.1011 B

注意：十進制小數（如0.63）在轉換時會出現二進制無窮小數，這時隻能取近似值。

9.2 二進制數→十進制數

轉換方法：

二進制數的每一位乘以其相應的權值，然後累加即可得到它的十進制數值。

例： 11101.1011B

= 1×2^4＋1×2^3＋1×2^2＋0×2^1＋1×2^0

＋1×2^－1＋0×2^－2＋1×2^－3＋1×2^－4

= 29.6875

9.3 八進制數與二進制數的互換

八進制→二進制：把每個八進制數字改寫成等值的3位二進制數，且保持高低位的次序不變。

例： 2467.32Q → 010 100 110 111 . 011 010 B

二進制→八進制：整數部分從低位向高位每3位用一個等值的八進制數來替換，不足3位時在高位補0湊滿3位；小數部分從高位向低位每3位用一個等值八進制數來替換，不足3位時在低位補0湊滿三位。

例： 1 101 001 110.110 01 B → 001 101 001 110.110 010 B

→ 1516.62 Q

9.4 十六進制數與二進制數的互換

轉換方法：與八、二進制互換的方法類似。

例1：35A2.CFH → 11 0101 1010 0010.1100 1111B

例2：11 0100 1110.1100 11B → 34E.CCH

都采用二進制表示，有不同類型和不同長度。

不同類型和不同長度的數各有不同的用途。

10.1 無符号整數的表示

10.2 有符号整數的表示

負數的絕對值如何用補碼表示？

先表示為自然碼。

将自然碼的每一位取反碼。

在最低位加“1”。

如4個位的補碼方案可以表示的數據範圍：

10.3 原碼和補碼的優缺點分析

原碼表示法：

優點：與日常使用的十進制表示方法一緻，簡單直觀。

缺點：加法與減法運算規則不統一，增加了成本；整數0 有“00000000”和“10000000”兩種表示形式，不方便。

補碼表示法：

優點：加法與減法運算規則統一， 沒有“-0”,可表示的數比原碼多一個(-2n-1)。

缺點：不直觀，人使用不方便。

10.4 原碼和補碼可表示的整數範圍

原碼可表示的整數範圍：

8位原碼： - 27 1～27- 1（- 127～127）

16位原碼： - 215 1～215- 1（- 32767～32767）

n 位原碼： - 2n-1 1～2n-1- 1

補碼可表示的整數範圍：

8位補碼：- 27～27- 1 （- 128～127 )

n位補碼：- 2n-1～2n-1- 1

- 128表示為 10000000

127 表示為 01111111

10.5 整數在計算機中的表示的對比

計算機中整數有多種，同一個二進制代碼表示不同類型的整數時，其含義（數值）可能不同。

一個代碼它到底代表哪種整數（或其它東西），是由指令決定的。

10.6 實數的特點與表示方法

實數是既有整數部分又有小數部分，小數點位置不固定。

任何一個實數總可以表達成一個乘幂和一個純小數之積。

例如：

56.725 = 0.56725×10^2

－0.0034756 = -0.34756×10^-2

實數的表示方法（記階法/浮點表示法）：用3個部分表示：

乘幂中的指數(也稱階碼)：表示實數中小數點的位置。

純小數部分(尾數)：表示實數中的有效數字部分。

數的正負(符号)。

二進制實數的浮點表示：

與十進制實數一樣，二進制實數也可以用記階法表示，如：

1001.011B = 0.1001011B×2^ 100

－0.0010101B = －0.10101B×2^－10

可見，任一個二進制實數 N 均可表示為：

N=±S×2P

（其中， ±是該數的符号； S是N 的尾數；P是N的階碼）

因此，32位的單精度浮點數在計算機中可表示為：

由于指數（階碼）可以選用不同的編碼（原碼、補碼等），尾數的格式和小數點位置也可以有不同的規定，因此早期計算機中浮點數的表示方法互不相同。

現代計算機中，一般都以IEEE 754标準存儲浮點數，這個标準的在内存中存儲的形式為：

對于不同長度的浮點數，階碼與小數位分配的數量不一樣，如對于32位的單精度浮點數，數符分配是1位，階碼分配了8位，尾數分配了是23位：

符号位：0表示正；1表示負；

偏移階碼e：e=指數的實際值 127。

假有一個浮點數10110010.001，則指數是7，階碼就要用7 127的二進制數表示，也就是：111 01111111 = 10000110

尾數使用原碼表示，絕對值在1與2之間，其中1和小數點都是隐含的，并不直接表示。

根據這個标準，我們來嘗試把一個十進制的浮點數轉換為IEEE754标準表示。

例如：178.125

先把浮點數分别把整數部分和小數部分轉換成2進制：

整數部分用除2取餘的方法，求得：10110010

小數部分用乘2取整的方法，求得：001

合起來即是：10110010.001

轉換成二進制的浮點數，即把小數點移動到整數位隻有1，即為：1.0110010001 * 2^111，111是二進制，由于左移了7位，所以是111

把浮點數轉換二進制後，這裡基本已經可以得出對應3部分的值了：

數符：由于浮點數是正數，故為0(負數為1)。

階碼 : 階碼的計算公式：階數 偏移量, 階碼是需要作移碼運算，在轉換出來的二進制數裡，階數是111(十進制為7)，對于單精度的浮點數，偏移值為01111111(127)[偏移量的計算是：2^(e-1)-1, e為階碼的位數，即為8，因此偏移值是127]，即：111 01111111 = 10000110

尾數：小數點後面的數，即0110010001

最終根據位置填到對位的位置上：

可能有個疑問：小數點前面的1去哪裡了？由于尾數部分是規格化表示的，最高位總是“1”，所以這是直接隐藏掉，同時也節省了1個位出來存儲小數，提高精度。

浮點數的二進制顯示可以使用以下代碼：

#include<iostream> #include <bitset> //STL的bitset模闆類 using namespace std; void main() { union { float input; int output; } data; data.input = 178.125; std::bitset<sizeof(float) * 8>bits2(data.output); //bitset模闆類定義對象，<>内為長度，()為值 //如bitset<8> bitset2(12); //長度為８，二進制保存，前面用０補充 std::cout << bits2 << std::endl; system("pause"); } //01000011001100100010000000000000

－End－

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!