你在紙上畫一條線，你雖然把它當成一維的，但這條線必然是有厚度的，而且必須是對紙張有壓迫的，所以必須是三維的。

而且你也必須“看到”了這條線的三維屬性，因為如果它是一維的，那麼它顯然不能擋住從任何方向來的光，那麼它顯然不可能被看見，如果它是二維的，意味着它沒有墨的疊加，它會無限淺，是無色的，所以你能看到這條線，就已經表示這條線是三維的了。

所以既然你看得見這條線，就已經表示了這條線在你的腦中反映了一維空間以外的維度，就表示你的視覺系統并沒有把這條線當作“一維物體”來處理。

所以可想而知，你不可能真的想象出一個“一維物體”，因為一個一維物體是根本看不見的。

既然如此，你卻依舊覺得你能夠想象出“一維物體”，顯然是因為你的思維系統把這種畫出來的線當成一維處理了。

但你可以把本來是個三維的物體當成了“一維”來處理，為什麼就不能把一個本來是三維的物體當成是四維來處理呢？

如果你能把某些本來是三維的物體當作四維來處理的話，你還會問“為什麼人類想象不出四維空間”這種話嗎？

本文的全部内容都是在試圖解釋，為什麼你可以把有些實際上是三維的圖形當成一維二維甚至非歐空間的圖形進行處理，卻無法把三維圖形當成四維和另一些非歐空間圖形處理的問題，如果我話說到這個份上都還無法理解的話，我實在是無話說了。

很多朋友都有這樣的問題：

1:影子是不是二維物體？

2:屏幕裡的人物是不是二維物體，

我統一回答一下：

首先這兩個問題是相似的，本質上都是指光投影到一個“平面後”是不是二維的。

數學上講，如果這個平面是“絕對平整”的，那麼這必須是個二維的，但現實生活中呢？

現實生活中，并不存在一個絕對“平整”的平面，而且，一個平面的“平整”與否，本身就隻有在三維以上的空間中才能确認。

如果有朋友覺得影子或者是紙片人是“二維的”，并以此認為他可以“想象”出來“二維空間”。

實際上，如果脫離了所投影到那個平面，那麼“影子”根本就不是一個“物體”，它是一束光達不到的地方，是純粹的，而且是“三維”的真空區間。

顯然如果你真的“想象出來”了一個“二維”的影子，你就必須要“想象”出影子所投影到的那個物體，這個物體既不是生活中常見的“牆”，“地闆”或是不那麼平整的任何真實存在過的平整物體，而是一個絕對“平整”的平面。

其次，許多朋友都有紙片人老婆，制片人老婆真的是“二維”的嗎？

如果這個紙片人老婆在你的腦中真的是“二維”，那麼這就必然意味着你老婆的胸和臉在你腦中都是“平”的，試問倘若你真的如此想象你的“老婆”，“她”又是如何吸引到你的呢？

現實生活中，通過相對而言比較“平”的屏幕上的投影，卻能讓許多朋友産生這種凹凸有緻得多的想象，這恰恰說明人腦是本能上“拒絕”想象“絕對平整”的。

所以嚴格來說你并沒有“想象出”二維物體，如我所言，你自以為自己想象出來了，因為你覺得對這些東西而言憑感覺想象一個第三維也無所謂。

到這裡，又有朋友問，為什麼我要求必須是“平整”的，這段話你們之後補充完知識再看。

如果你們默認空間中的距離是歐式距離，那麼二維的曲面就隻能在三維以上空間中定義，如果你不想像第三個維度的話，你怎麼能知道這個二維面是“曲”的呢？

一張紙不管它怎麼彎曲，它投影到任何一個“平面”上都是“二維”的，都是平的，要反映這張紙是“彎曲”的，你隻能放在三維空間中想象。

如果你要在二維空間以内就認識到這個曲面是曲的，那麼你必須更改這個曲面内“距離”的定義，在這個“距離下”，三角形内角和不一定是180度，兩點之間未必直線最短，圓周率不一定是3.14159···，如果你改了“距離”的定義，那麼這就不再是一個歐幾裡得空間了，甚至連“維度”的定義都會改變，我們首先得認為題主的“四維空間”必須指的是四維歐式空間，否則還真的無法讨論。

如果我們把“想象出具體形狀”的這個要求剔除出去，僅僅隻要求理解空間的性質的話，人類不僅能夠想象出四維空間，還有各種各樣的空間。

而如果我們非要把“想象出具體形狀”定義為“想象”的話，那麼就的确做不到了。

一，首先我先補充一下關于“空間”的知識。

在數學上，拓補空間是由開集合構成的集合族，也就是說你随便找一群符合條件的集合，其實都可以構成空間。

一切幾何問題，本質上都是點與點的距離問題，如果我們試圖從度量點的坐标和距離來認識和“想象”空間的話，“度量空間”的定義和“距離”的定義就往往是一起的，也就是說，空間究竟是什麼樣的，取決于你對兩點間“距離”的認識。

兩點的“距離”的定義是需要滿足三個條件的實數，這三個條件是。

1:非負同一性：任何兩點的距離都必須大于等于零，每一個點到它自己、且僅到它自己的時候，距離等于零。

2:對稱性：點A到B的距離必須和B到A的距離相等。

3:三角不等式，A到B的距離與B到C的距離之和，必須大于等于A到C的距離。

一旦點與點的“距離”關系被給定了，那麼空間所具有的性質，和空間中點與點之間的關系就被給定了，也可以說這個空間的“形狀”被給定了。

有一種特殊的“距離”，還滿足第四個條件：

把A的坐标乘上一個常數a得到點aA，如果點aA到原點的距離剛好是A到原點的距離的a倍，即距離和坐标滿足線性關系，那麼就把這個“距離”叫做“範”（norm），這個空間被稱作賦範空間。

現在，我們很清楚了，日常生活中，兩點的距離是等于根号下兩點各個坐标差的平方的和的，我們稱這個距離為歐式距離，這個空間為“歐幾裡得空間”。

顯然，歐式距離是一種“範”，歐幾裡得空間是一種“賦範空間”。

二，“想象不出”的空間多了去了。

現在你恐怕已經知道各種空間的情況是有多複雜了吧？

我再随便給你一個範：

曼哈頓距離，

曼哈頓距離指的是兩點之間各坐标差的絕對值的和，即對于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點的距離，如果被定義為| x1-x2 | |y1-y2 |的話，那麼這個距離就被稱為曼哈頓距離，圖中綠色的線表示的就是兩點間的歐式距離，而圖中紅黃藍三線都可以表示兩點間的曼哈頓距離。

其實這就如同你在曼哈頓開車，不能直接穿過一幢幢大樓，而隻能拐彎是一樣的。

上圖看上去曼哈頓距離姑且還可以被放在“歐式空間”中進行“想象”，實際上，這和我們這些三維空間生物想象出二維空間并無什麼區别。

然而當兩個點距離取得無限小的時候，就相當于有無限個無限小的樓房卡住了路中間，任何兩個有一個坐标不同的點之間都無法用一條“像是歐式空間的直線”連接起來，即使他們無限逼近。也隻能不斷使用折線來連接這些點。

如果你非要去想象這無數個無限小的樓房卡住了位置來幫助你“理解”這個距離的話，你也是做不到的。

正如你如果非要去想象一個“無窮薄”的物體來“徹底”理解“二維空間”，你也是做不到的。因而你之所以覺得你“想出了二維空間或者曼哈頓空間”并非是因為你真的“想象出”了無窮薄的物體或者無窮多個無窮小的小房子，而是因為你覺得想不出這些也無所謂。

那麼我再給你個空間：

距離d（x，y）=1，如果點x不等于點y

距離d（x，y）=0，如果點x等于點y。

這個距離顯然滿足“距離”的三個條件，非負同一性，對稱性，和三角不等式，但它顯然不是一個範。

如果你非要用腦子去想象這個空間的形狀，那麼你隻能想象到4個點，它們如果非要用歐幾裡得空間的點來表述，剛好在歐式空間中形成一個正四面體。

這種空間别說想象出幾維，甚至連“維度”都難以定義，你非用腦子想其實就是自讨苦吃。

可見，在數學上可以寫出來，但你卻“想像不出”的空間多了去了，遠不止四維的或是高維的歐幾裡得空間結構。

接下來我們回到一開始的問題上，為什麼你能把一些三維圖形當成二維或是一維的圖形處理，而卻不能把一些三維圖形當成四維空間處理？

許多朋友可能會得出一種簡單的歸納———那就是高維空間不能被人腦當成低維空間的圖形來處理，這種歸納對不對呢？的确不錯，但這種歸納是遠不夠深入的，正如我前面所補充的知識，空間的種類是無窮的，遠不止四維的歐式空間，甚至有一些空間，你都不能定義維度，那麼哪些空間是可以三維圖形所處理的，你用歐式空間的維度的高低的概念來回答這個問題是很不完備的。

于是我展開了下面的分析。

三：“想象”究竟是怎樣一個過程？

（數學家們并不關心人類的“想象”究竟是什麼，所以我這裡隻能自行分析，如有不對還請指教。）

講到這裡，你恐怕就已經懂了，人不過是一種三維歐幾裡得空間的生物，所謂“想象”，其實就是把一個空間中所有點集都對應到三維的歐幾裡得空間中而已。

顯然，如果一個空間中的所有點都能“輕易”對應到三維歐式空間中，你便會覺得你想象得出來。

那麼這個“輕易”又指的是什麼？

就我目前的想法而言，我認為如果這個對應可以是一個“單射”，而且可以是一個可以微分的對應，那麼就形成了“輕易”，你就會覺得你自己把整個空間“想象”了出來。

比方說，盡管你并不能去“想象出”無窮薄的紙或者無窮個無窮小的樓房，但你依舊覺得“自己想象”出了“二維空間”或是“曼哈頓度量空間”。

為什麼呢？

因為你覺得自己想象不出來無窮小的厚度或是無窮小的樓房這些東西也無所謂，因為你随便想一張紙，便覺得你的“想象圖形”保留了原來這些點的全部性質，也就是說這是因為最起碼的，原來圖形的每一個不同的點，在你“想象”的新的圖形——那張紙中都可以找到不同的點來對應。

換言之，你的“想象得出與否”的标準，其實就是看你能不能建立一種單射（我稍後會強調可微的屬性），使得你要想像的那個空間中的點能夠對應到三維歐式空間中。

（單射，是指這樣一種對應：

對于集合A中的每個元素，集合B都最多有一個元素與之對應，且集合A中任何兩個不同的元素，在集合B中有對應的話，都一定對應兩個不同的元素。）

顯然，二維歐幾裡得空間中的任何點構成的點集（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3）···随便加上一組坐标變成，（x1，y1，z1），（x2，y2，z2），（x3，y3，z3），這就構成了一個單射，如果把z坐标設置為恒為零。

f（x，y）—— x，y，0，很顯然，這是一個可微的單射。

你平時“想象”二維空間的物體，比如說一張平坦的紙，其實就是你直接把二維空間的點集的第三個坐标默認為了一個常值，馬上就能得到一個連續可微的單射對應。

實際上，如果在z坐标上做手腳，變成一些複雜的對應，許多朋友的“想象力”就很難跟上了。

比如想象一張傾斜的，彎曲成各種形狀的紙，就比想象一張平整的紙難得多，而究其根源，就是這個對應的複雜程度變高了嘛。

而當這個對應到了無窮“複雜”，人類的想象力自然也就無法跟上了。

你想像不出四維歐式空間，也許就是因為把四維空間中的點集對應成三維歐式空間中的點集的可微單射不存在的原因。

比如說，四維空間中的點（x，y，z，w），如果你拿掉w坐标。

即構成映射f（x，y，z，w）=（x，y，z），這樣就對應到三維空間中了。

這個映射顯然不是單射，因為（x，y，z，1），和（x，y，z，2）會對應到同一個點（x，y，z）。

如果你去“想象”這樣一種不是單射的對應，顯然你會覺得自己沒有充分的“想象”出四維空間中點的分布，因為自己認為把本來的許多個點，比如（x，y，z，1）和（x，y，z，2）對應成了一個點，因此你不會覺得自己“想象出”了四維空間。

所以如果不是建立起一種“單射”對應的話，你不會覺得自己把它“想象了”出來。

但熟知集合論的朋友也知道，其實你可以找到四維空間到三維空間的一種單射，因為不管n是幾，n維空間中點的數量都是阿列夫1。

比如說，按照康托爾坐标劃分的方法，其實四維空間可以建立起到三維空間的這樣一種單射，

f（x，y，z，w）——f（x，y，b）

其中，b是z和w結合的一種構造，比如原來的z=100，w=234，b可以設置成奇數位是z的數字，偶數位是a的數字的坐标——120304。

這樣，你把坐标z和a任取兩個實數，比如說z=123，w=456，就可以得到一個獨一無二的b，142536，而且顯而易見這樣一個對應中隻要z和a任何一個發生變化，b就必然和原來不同。

因此z，w——b就構成了一個單射，但顯而易見，這個單射如我所言，不是可微的，它甚至都不是連續的。

關于“可微”的定義，我就不多說了，學過微積分的都懂，但是這裡強調一下，歐式空間中連續和可微用的是歐式距離來定義的，（就是說兩初始點點距離無限接近的時候，兩個對應點的距離也無限小且二者比例是在任意方向上都是有界的定值，這裡也是一樣，對應點之間的距離用歐式距離，隻不過初始點之間的距離用那個空間定義的距離而已。）

我在這裡強調一個“可微”的概念，是因為我即使你用一個單射把點和線對應成體和球，人類的腦子也不可能同時想象出無限個球，除非這些球連成了一個形狀，且構成了一條有限次“均勻”變化的形狀，人類所能“想象出的”不是離散物體的形狀，無非都是有限個“均勻變化線”的組合，而如果不談“線性”，隻談點的話，其實是無法構成“維度”的。

因此四維空間中的任何一條連續的均勻變化線，因為其本身含有無窮個點，所以都在隻有被對應成三維空間中一條“有限個均勻變化的組合”的時候，才能說人類“想象了”出來。

所以我強調這必須是一個有限個可微對應組成的單射，因為我認為，人的腦子不能“想象出”無限個離散的物體或者無限次不均勻的變化，因此将四維空間中的一個超平面對應成三維空間中無窮個離散體或是不均勻變化的方法并不能幫助人類進行這種“想象”，實際上，這是把人腦處理的“對應的複雜程度”提高到了無窮大，所以如果不是一種可微對應，那麼人腦就無法運作了。

四，我關于“想象”的分析的佐證

關于這種“想象不出”的事情，在曆史上曾經發生過一次。

1872年的時候，韋爾斯特拉斯在論文中曾經給出了一個非常有名的函數，這個函數被稱作韋爾斯特拉斯函數。

在這個函數被提出之前，所有數學家都沒有想到“一個處處連續，但處處不可微”的函數。

在早期數學家的直覺和“想象”裡，這樣的函數是不存在的，他們直覺上認為，即使對于任何一個不可微的連續函數，你隻要分割到足夠小，那麼也會是可微的。

我提到過，這之所以違反直覺，是因為人類的腦子根本無法“想象出”一個在有限空間裡能無限次不均勻地變化的形狀，如果人類的腦子真的能想象出無限次的“不均勻變化”，那麼用純粹的數學解析式以外的方法預料到“韋爾斯特拉斯函數”的出現是理所當然的。

直到今天，人類别說是四維空間，就是韋爾斯特拉斯函數的形狀，都無法充分地“想象”出來。

所以如我所言，要讓人類“想象出”四維空間是不可能的原因，很可能是因為四維空間到三維空間無法建立起一種可微單射所導緻的。

看上去像是有意義的韋爾斯特拉斯函數的畫法

當然關于“想象”這個事情我也不能下出完全的論斷，畢竟沒人能說明“想象”究竟是什麼，如果有數學大神覺得我的思考出現了問題也可以指出我的錯誤。

此處我要強調的是，空間的種類有無數種，而歐式空間隻是其中之一，三維以下的空間又隻是歐式空間的一小部分，你甚至都不能能“覺得自己想象出”我給出的那個空間的第五個點，而且你就連二維空間中的形狀也未見得總能“自以為想象得出”，比如韋爾斯特拉斯函數。

因此，人類的想象力，雖然是無窮的，但也是匮乏的。

如何理解人的想象力既無窮又匮乏呢？就如這阿列夫零，雖然是無窮的，但相對于阿列夫一，就是“匮乏”的了。

而想象出四維歐式空間其實根本就不重要，數學家們不僅不能想象出四維空間，也不能想象出各種拓補空間，但這絲毫不影響他們研究這些空間中的幾何學。

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