一、計算題

無論小升初還是各類數學競賽，都會有計算題出現。計算題并不難，卻很容易丢分，原因：1、數學基礎薄弱。 計算題也是對考生計算能力的一種考察，并非平常所說的馬虎、粗心造成的。而且這種能力對任何一個學生來說，都是很重要的，甚至終身受益，這就是為什麼中小學學習階段，"逢考必有計算題"的重要原因了！

2、心态上的輕視。很多學生稱做計算題為"算數"題，在心理上認為很簡單，一來不認真做，二來，把更多的精力放在了應用題等看起來很難的題目上了。

二、行程問題

我們任意翻開一套試卷，隻要是一套綜合的測試，大概就會發現少則一道多則三五道的行程問題。 所以行程問題不論在奧數競賽中還是在"小升初"的升學考試中，都擁有非常顯赫的地位，都是命題者偏愛的題型之一。所以很多學生甚至說，"學好了行程，就肯定能得高分"。

三、數論問題

在整個數學領域，數論被當之無愧的譽為"數學皇後"。翻開任何一本數學輔導書，數論的題型都占據了顯著的位置。在小學各類數學競賽和小升初考試中，我們系統研究發現，直接運用數論知識解題的題目分值大概占據整張試卷總分的30%左右，而在競賽的決賽試題和小升初一類中學的分班測試題中，這一分值比例還将更高。

出題老師喜歡将數論題作為區分尖子生和普通學生的依據，這一部分學習的好壞将直接決定你是否可以在選拔考試中拿到滿意的分數。

四、幾何問題

幾何問題主要考察是考生的觀察能力甚至空間想象能力，有時需要添加輔助線才能完成，對培養孩子動手甚至創新能力很有幫助。

典型例題：

1．羊跑5步的時間馬跑3步，馬跑4步的距離羊跑7步，現在羊已跑出30米，馬開始追它。問：羊再跑多遠，馬可以追上它？

【解】 根據"馬跑4步的距離羊跑7步"，可以設馬每步長為7x米，則羊每步長為4x米。根據"羊跑5步的時間馬跑3步"，可知同一時間馬跑3×7x米＝21x米，則羊跑5×4x＝20米。 可以得出馬與羊的速度比是21x：20x＝21：20 根據"現在羊已跑出30米"，可以知道羊與馬相差的路程是30米，他們相差的份數是21-20＝1，現在求馬的21份是多少路程，就是 30÷（21-20）×21＝630米

2．甲乙輛車同時從a b兩地相對開出，幾小時後再距中點40千米處相遇？已知，甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時，求a b 兩地相距多少千米？

【解】由"甲車行完全程要8小時，乙車行完全程要10小時"可知，相遇時甲行了10份，乙行了8份（總路程為18份），兩車相差2份。又因為兩車在中點40千米處相遇，說明兩車的路程差是（40 40）千米。所以算式是（40 40）÷（10-8）×（10 8）＝720千米。

3．在一個600米的環形跑道上，兄兩人同時從同一個起點按順時針方向跑步，兩人每隔12分鐘相遇一次，若兩個人速度不變，還是在原來出發點同時出發，哥哥改為按逆時針方向跑，則兩人每隔4分鐘相遇一次，兩人跑一圈各要多少分鐘？

【解】600÷12=50，表示哥哥、弟弟的速度差 600÷4=150，表示哥哥、弟弟的速度和

（50 150）÷2=100，表示較快的速度，方法是求和差問題中的較大數 （150-50）÷2=50，表示較慢的速度，方法是求和差問題中的較小數 600÷100=6分鐘，表示跑的快者用的時間 600÷50=12分鐘，表示跑得慢者用的時間

4．慢車車長125米，車速每秒行17米，快車車長140米，車速每秒行22米，慢車在前面行駛，快車從後面追上來，那麼，快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車需要多少時間？

【解】可以這樣理解："快車從追上慢車的車尾到完全超過慢車"就是快車車尾上的點追及慢車車頭的點，因此追及的路程應該為兩個車長的和。

算式是（140 125)÷(22-17)=53秒

5．在300米長的環形跑道上，甲乙兩個人同時同向并排起跑，甲平均速度是每秒5米，乙平均速度是每秒4.4米，兩人起跑後的第一次相遇在起跑線前幾米？

【解】300÷（5-4.4）＝500秒，表示追及時間 5×500＝2500米，表示甲追到乙時所行的路程 2500÷300＝8圈……100米，表示甲追及總路程為8圈還多100米，就是在原來起跑線的前方100米處相遇。

6．一個人在鐵道邊，聽見遠處傳來的火車汽笛聲後，在經過57秒火車經過她前面，已知火車鳴笛時離他1360米，(軌道是直的),聲音每秒傳340米，求火車的速度（得出保留整數）

【解】算式：1360÷(1360÷340 57）≈22米/秒 關鍵理解：人在聽到聲音後57秒才車到，說明人聽到聲音時車已經從發聲音的地方行出1360÷340＝4秒的路程。也就是1360米一共用了4 57＝61秒。

7．獵犬發現在離它10米遠的前方有一隻奔跑着的野兔，馬上緊追上去，獵犬的步子大，它跑5步的路程，兔子要跑9步，但是兔子的動作快，獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步，問獵犬至少跑多少米才能追上兔子。

【解】由"獵犬跑5步的路程，兔子要跑9步"可知當獵犬每步a米，則兔子每步5/9米。由"獵犬跑2步的時間，兔子卻能跑3步"可知同一時間，獵犬跑2a米，兔子可跑5/9a*3＝5/3a米。從而可知獵犬與兔子的速度比是2a：5/3a＝6：5，也就是說當獵犬跑60米時候，兔子跑50米，本來相差的10米剛好追完

8． AB兩地，甲乙兩人騎自行車行完全程所用時間的比是4:5，如果甲乙二人分别同時從AB兩地相對行駛，40分鐘後兩人相遇,相遇後各自繼續前行，這樣，乙到達A地比甲到達B地要晚多少分鐘?

【解】設全程為1,甲的速度為x乙的速度為y 列式40x 40y=1 x:y=5:4 得x=1/72 y=1/90 走完全程甲需72分鐘,乙需90分鐘 90-72=18（分鐘）

9．甲乙兩車同時從AB兩地相對開出。第一次相遇後兩車繼續行駛，各自到達對方出發點後立即返回。第二次相遇時離B地的距離是AB全程的1/5。已知甲車在第一次相遇時行了120千米。AB兩地相距多少千米？

【解】通過畫線段圖可知，兩個人第一次相遇時一共行了1個AB的路程，從開始到第二次相遇，一共又行了3個AB的路程，可以推算出甲、乙各自共所行的路程分别是第一次相遇前各自所走的路程的3倍。即甲共走的路程是120*3＝360千米，從線段圖可以看出，甲一共走了全程的（1 1/5）。 因此360÷（1 1/5）＝300千米

10．一船以同樣速度往返于兩地之間，它順流需要6小時，逆流8小時。如果水流速度是每小時2千米，求兩地間的距離？

【解】（1/6-1/8）÷2＝1/48表示水速的分率 2÷1/48＝96千米表示總路程

11．快車和慢車同時從甲乙兩地相對開出，快車每小時行33千米，相遇是已行了全程的七分之四，已知慢車行完全程需要8小時，求甲乙兩地的路程。

【解】相遇是已行了全程的七分之四表示甲乙的速度比是4：3 時間比為3：4 所以快車行全程的時間為8/4*3＝6小時 6*33＝198千米

12．小華從甲地到乙地,3分之1騎車，3分之2乘車；從乙地返回甲地，5分之3騎車，5分之2乘車，結果慢了半小時。已知騎車每小時12千米，乘車每小時30千米，問：甲乙兩地相距多少千米?

【解】把路程看成1，得到時間系數 去時時間系數：1/3÷12 2/3÷30 返回時間系數：3/5÷12 2/5÷30 兩者之差：（3/5÷12 2/5÷30）-（1/3÷12 2/3÷30）=1/75相當于1/2小時 去時時間：1/2×（1/3÷12）÷1/75和1/2×（2/3÷30）1/75 路程：12×〔1/2×（1/3÷12）÷1/75〕 30×〔1/2×（2/3÷30）1/75〕=37.5（千米）

1、已知四位數的個位數與千位數之和為10，個位數既是偶數又是質數，百位數與十位數組成的兩位數是個質數，又知這個四位數能被36整除，則所有滿足條件的四位數中最大的是多少？

【解】因為個位數既是偶數又是質數，所以個位數字為2，又因為個位數與千位數之和為10，所以千位數字為8，因為這個四位數能被36整除，所以能被4與9整除，由于個位數與千位數之和為10，所以百位數與十位數的和除以9餘8，又因為百位數與十位數之和不超過18，所以百位數與十位數的和為8或17。由于能被4整除，所以後兩位數能被4整除，由于個位數字為2，所以十位數字隻能為1,3,5,7,9，若百位數字為9，由于十位數字為奇數，所以其和不能等于8或17，所以百位數字最大為8，此時個位數字為9，且89是質數，符合題意，故答案為8892.

2、已知A數有7個因數，B數有12個因數，且A、B的最小公倍數[A,B]=1728，則B=_______。

【解】1728=26×33，由于A數有7個因數，而7為質數，所以A為某個質數的6次方，由于1728隻有2和3這兩個質因數，如果A為36，那麼1728不是A的倍數，不符題意，所以A=26，那麼33為B的因數，設B=26×33，則（k 1）×（3 1）=12，得k=2.所以B=22×33。

3、22008 20082除以7的餘數是__________。

【解】23=8除以7的餘數為1，2008=3×669 1，所以22008=23×669 1=（23）669×2，其除以7的餘數為：1669×2=2；2008除以7的餘數為6，則20082除以7的餘數等于62除以7的餘數，為1；所以22008 20082除以7的餘數為：2 1=3。

4、已知一個四位數加上它的各位數字之和後等于2008，則所有這樣的四位數之和為______。

【解】設這樣的四位數為abcd，則abcd a b c d=2008，即1001a 101b 11c 2d=2008，則a=1或2。

（1） 若a=2，則101b 11c 2d=6，得b=c=0，d=3，abcd=2003；

（2） 若a=1，則101b 11c 2d=1007，由于11c 2d≤11×9 2×9=117，所以101b≥1007-117=890，所以b＞8，故b>8，故b為9,11c 2d=1007-909=98，則c為偶數，且11c≥98-2×9=80，故c>7，由c為偶數知c=8，d=5，abcd=1985；所以，這樣的四位數有2003和1985兩個，其和為：2003 1985=3988。

5、在1,2,3，……，7,8的任意排列中，使得相鄰兩數互質的排列方式共有_______種。

【解】這8個數之間如果有公因數，那麼無非是2或3。

8個數中的4個偶數一定不能相鄰，對于這類多個元素不相鄰的排列問題，考慮使用"插入法"，即首先忽略偶數的存在，對奇數進行排列，然後将偶數插入，但在偶數插入時，還要考慮3和6相鄰的情況。

奇數的排列一共有4！=24種，對任意一種排列4個數形成5個空位，将6插入，可以有符合條件的3個位置可以插，再在剩下的四個位置中插入2、4、8，一共有4×3×2=24種，所以一共有24×3×24=1728種。

6、将200分拆成10個質數之和，要求其中最大的質數盡可能的小，那麼此時這個最大的質數是__________。

【解】200÷10=20，即這10個質數的平均數為20，那麼其中最大的數不小于20，又要為質數，所以至少應為23；而由200=23×8 11 5可知，将200分拆成8個23與1個11和1個5，滿足條件，所以符合題意的最大質數為23。

7、設a、b是兩個正整數，它們的最小公倍數是9504，那麼這樣的有序正整數對（a,b）共有_________組。

【解】先将9504分解質因數：9504=25×33×11，（a,b）所含2的幂的情況可能是（0,5），（1,5），（2,5），（3,5），（4,5），（5,5）；（5,0），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），共11種，同理3的幂的情況有7種，11的幂的情況有3種，所以總共有11×7×3=231種。

1、圖中的長方形的長與寬的比為8:3，求陰影部分的面積。

【解】如圖，設半圓的圓心為O，連接OC。

從圖中可以看出，OC=20，OB=20-4=16，根據勾股定理可得BC=12。

陰影部分面積等于半圓的面積減去長方形的面積，

為π×202×1/2-（16×2）×12=200π-384=244

2、求下圖中陰影部分的面積：

【解】如圖所示，将左下角的陰影部分分為兩部分，然後按照右上圖所示，将這兩部分分别拼補在陰影位置。可以看出，原題圖的陰影部分等于右下圖中AB弧所形成的弓形，其面積等于扇形OAB與三角形OAB的面積之差。

所以陰影面積：π×4×4÷4-4×4÷2=4.56

3、如圖四邊形土地的總面積是48平方米，三條線把它分成了4個小三角形，其中2個小三角形的面積分别是7平方米和9平方米，那麼最大的一個三角形的面積是________平方米。

【解】剩下兩個三角形的面積和是48-7-9=32，是右側兩個三角形面積和的2倍，故左側三角形面積是右側對應三角形面積的2倍，最大三角形面積是9×2=18。

4、已知四邊形ABCD和CEFG都是正方形，且正方形ABCD的邊長為10厘米，那麼圖中陰影三角形BFD的面積為多少平方厘米？

【解】連接FC，有FC平行于DB，則四邊形BCFD為梯形。

有△DFB、△DBC共底DB，等高，所以這兩個三角形的面積相等，顯然，△DBC的面積為10×10÷2=50（平方厘米），即陰影部分△DFB的面積為50平方厘米。

5、用棱長是1厘米的正方塊拼成如下圖所示的立體圖形，問該圖形的表面積是多少平方厘米？

【解】不管疊多高，上下兩面的表面積總是3×3；再看上下左右四個面，都是2×3 1，所以總計9×2 7×4=18 28=46。

6、如圖，在△ABC中，AD是AC的三分之一，AE是AB的四分之一，若△AED的面積是2平方厘米，那麼△ABC的面積是多少？

【解】連接EC，如圖，因為AC=3AD，△AED與△AEC中AD、AC邊上的高相同，所以△AEC的面積是△AED面積的3倍，即△AEC的面積是6平方厘米，用同樣方法可判斷△ABC的面積是△AEC面積的4倍，所以△ABC的面積是6×4=24（平方厘米）。

7、将三角形ABC的BA邊延長1倍到D，CB邊延長2倍到E，AC邊延長3倍到F，如果三角形ABC的面積等于1，那麼三角形DEF的面積是多少？

【解】如圖，連接CD、BF，則

△ADC的面積=△ABC的面積=1

△BDE的面積=△BCD的面積×2=（1 1）×2=4

△CDF的面積=△ADC的面積×3=3

△BCF的面積=△ABC的面積×3=3

△BEF的面積=△BCF的面積×2=6

△DEF的面積=△ABC的面積 △ADC的面積 △BDE的面積 △CDF的面積 △BCF的面積 △BEF的面積=1 1 4 3 3 6=18。

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