組合折紙立體幾何體?點上方好玩的數學可加關注，接下來我們就來聊聊關于組合折紙立體幾何體?以下内容大家不妨參考一二希望能幫到您!

組合折紙立體幾何體

點上方好玩的數學可加關注

帶你走進一個不一樣的數學世界

作者簡介：常文武 複旦大學數學博士，上海市普陀區現代教育技術中心跨學科高級教師，全國首批英特爾未來教育骨幹教師。多次參加亞洲數學技術大會（ATCM）并出訪美國、歐洲等地。2013年起潛心研究折紙在數學中的應用，連續在《科學》等雜志上發表10多篇論文，兩度參加上海科學藝術展。2014、2015年連續兩年受澳門中華教育會邀請向澳門數學教師傳授折紙，2014年出版《動手動腦 玩轉數學》一書。正十二面體：從制作到理解

正十二面體是一種以正五邊形為面的多面體。這種不尋常的别緻多面體數學内涵非常豐富。柏拉圖曾認為我們的宇宙就是正十二面體的。雖然這隻是一個美麗的錯誤，但是正十二面體對于普通大衆至今仍充滿神秘色彩。

制作正十二面體為了探究正十二面體，有必要親手制作一個。顯然，紙模型是最方便的實現方式。

制作正十二面體紙模型的方法很多，這裡用組合折紙的方式制作。通過組合拼接而成的結構便于在需要的時候重新調整各面相對位置。

材料 寬度4cm-5cm的平行長紙帶100cm步驟1制作一個正五邊形的紙帶結

用長約8倍寬度的紙帶打個結，輕拉兩端至最緊，壓平（圖2左）。數學上可以嚴格證明這個結是正五邊形。

步驟2制作插合正十二面體所需零件

用長約3倍寬度的紙帶折疊一道折痕，使其形成的内角正好符合五邊形紙帶結的頂角（圖2右）。

折疊後的紙帶重疊區域有一個36°為底角的等腰三角形。現在請将它的兩腰以外的紙帶貼着邊折到背後，然後再把底邊以外的部分剪去（圖3）。

打開重新将兩側翼藏在夾層内，并且讓它們在内部彼此勾起來，壓平。我們得到了一個有108°頂角的等腰三角形（圖4左）。

折疊找到每一腰所對角的角分線與該腰的交點，将相應銳角折到這個點。可以證明，這兩道折痕與三角形三邊圍成一個正五邊形（圖4右）。 至此我們就完成了第一個插接件。

小貼士

1、下料時有一個高效省紙的方法：拿第一個三角形展開圖（一個平行四邊形）作模闆，從長條紙上比着連續裁剪下來11個這樣的圖形即可。

2、折疊每個平行四邊形紙片時，雖然可以從折短對角線開始，但最好再用紙帶結頂角校正第一道折痕的角度，以避免誤差産生。

步驟3插合正十二面體

每個三角形插接零件上既有榫頭也有卯眼：兩銳角前端是榫頭，兩腰靠近頂點的縫隙是卯眼。插合時有一定規則，為了保證這個規則不被破壞，我們給每個插接件上标注一些記号。

作标記的規律：在每片插接件的裡側左下角标為紅點榫頭，左腰縫隙标為紅點卯眼；相應地，右下角為藍點榫頭，右腰縫隙為藍點卯眼（圖5上左）。

插合時隻要保證榫頭插入同色的卯眼（圖5上右），就可以順利完成一個完美的十二面體（圖5下）。

探究十二面體的着色

關于地圖的着色有一條著名的定理——四色定理。定理說，任何複雜的地圖都可以用不超過四種的顔色給它塗色來區分相鄰區域。這條定理至今仍然沒有一個簡潔的證法，人類對它的認識停留在計算機給出的大規模分類窮舉證明。

如果将正十二面體的每個面當成地圖上需要區分的一個個區域，則這個特殊的地圖确乎需要四種顔色才可以完成以上的着色要求（為什麼？）。

那麼具體怎麼着色呢？ 下面給出一種着色方法，請讀者舉一反三。

1

步驟一

将制作好的正十二面體放置在桌上，朝上的一面标記為1，貼着桌子的一面标記為2。這裡用不同的數代表不同的顔色。

2

步驟二

在1面的周圍5個區域中随便選一個标為3，再在2号面和3号面之間選一個面标為4（即4與2、3都相鄰）。

3

步驟三

至此已有一個面與1、3、4都相鄰，必須以2标記。還有一塊與3、4、2都相鄰的面隻能标記為1

4

步驟四

在與頂部的1号相鄰的五個面裡已有3、2兩塊着好色，還有3個位置空缺。給這三塊着色4、2、4，使形成3-2-4-2-4的閉環

5

步驟五

在與底部2号面相鄰的圈子裡已有4、1兩塊着好色，還有3個位置空缺。給這三塊着色3、1、3，使形成4-1-3-1-3的閉環。

至此已經完成十二個面的完美着色。但是顯然以上着色方法并不是唯一的着色方法。 例如在步驟2中選擇與2、3都鄰接的4時還有另一個位置可以選。讀者可以嘗試一下。得到的着色方法是與原方法鏡像對稱的。

以上得到的兩種着色方案中，如果把3擦去寫上4，而把原先的4都改為3，對調3與4又能得新的兩種方案。

有趣的是，在數學上可以證明全部的着色方案也就隻有4種。也就是說我們已經窮盡了全部的着色方法。限于篇幅，在此就不贅述了，留給好奇的讀者去探索吧！

每天好玩的數學

DailyMathFun

↑

以數學學習為主題，以傳播數學文化為己任，以激發學習者學習數學的興趣為目标，分享有用的數學知識、有趣的數學故事、傳奇的數學人物等，為你展現一個有趣、好玩、豐富多彩的數學世界。

↓

點閱讀原文逛好玩商城，發現更多好玩的數學。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!