-數學之所以很幸運地成為希臘人的第一類知識，所有的人都要學的粗略知識，在于它本來的意思就是可學可教的，就是說你本來就懂這東西。

上一期我們提到，希臘的科學是一種自由的科學。那在古代希臘時期所謂的科學都有哪些類型呢？

至少有兩大類型，第一個叫作“數學”，第二個叫“哲學”。一般來講， 希臘人以18歲劃界的話，18歲以前都要學數學，18歲以後要學哲學。哲學是高階科學，數學是初階的科學，今天我們就講一講希臘的數學的基本内容，它如何體現希臘這種自由科學的品質。

可教可學

“數學”一詞來自于希臘文，它并不像我們今天所說的，數學就是和數字有關系，它的意思是“可教可學”。這個詞很古怪，希臘的青少年首先學的一門課，意思居然是可教可學的東西，那為什麼要強調這個“可教可學”呢？這個是希臘人就這個學習這件事情，一直有的一個糾結點。

“可教可學”的來源

在蘇格拉底以前，智者學派裡曾經有一個廣泛流傳的學習悖論，是這麼說的，你學一樣東西，究竟對這個東西懂還是不懂？如果懂，就沒必要學。如果不懂，又怎麼學得會呢？柏拉圖對此有一個明确的回答，他認為，我們隻能學習那些本來就懂的東西，因為如果我們根本就不懂，是學不會的，之所以懂還要學，是因為我們本來是懂的，但是後來給忘了。

因此所謂學習不過就是回憶而已，回憶起我們的靈魂曾經懂的東西，所以強調學習就是回憶。這是柏拉圖一個很重要的思想，這個思想今天看來很荒謬，如果從一種經驗心理學意義上說，也是很荒謬的，誰會本來就懂然後忘掉了。

（圖）柏拉圖的宴會局部我們一直尋找的，卻是自己原本早已擁有的；我們總是東張西望，唯獨漏了自己想要的

“可教可學”的内在意義

但是它如果從一種哲學意義上講的話，就很深刻了，這句話無非是說，所有能成為我們人類的知識的東西，它一定是在一種先天意義上，為我們人類所能夠理解和掌握的東西。如果我們人類根本就沒法理解和掌握的東西，那是不可能成為我們知識的對象。

數學之所以很幸運地成為希臘人的第一類知識，所有的人都要學的粗略知識，在于它本來的意思就是可學可教的，就是說你本來就懂這東西。

對希臘人來講，數學就是所謂的人盡皆知的，本來就懂的那些東西。所以我們看到希臘人之所以強調數學，不是我們今天想象的那樣，對計算的愛好以及計算能力的追求，而是說我們本質上隻能學習那些我們本來就能夠學習的東西，這是強調知識的内在性，強調作為科學，它具有内在特征。内在特征的意思就是說，它自己決定自己，自己能推出自己。

希臘“數學”的門類

那麼希臘的數學，既然是這樣的話，它怎麼個學法呢？我們知道希臘數學有四大門類。

• 第一個門類叫作算術；
• 第二個門類叫作幾何；
• 第三個門類叫作音樂；
• 第四個門類叫作天文。

音樂和天文為什麼也算在“數學”内

算術、幾何、音樂、天文，這四門學科都稱之為“數學學科”，在我們今天看來很古怪，算術幾何，當然是歸到數學裡去，那為什麼音樂和天文也規定進去了呢？那我們就要重新理解希臘人對數學的定義了，他的意思就是說這四門，其内容是我們人類本來就熟悉的。因此我們不但有數數，辨數的能力，也有辨别形狀和了解形狀之間關系的能力，同時我們也本來就擁有體會和諧音樂的能力。

畢達哥拉斯在對整數比值和音符高低之間的的關系做研究

如果一個人不能夠懂得音樂之間是否和諧，聽不出嘈雜和和美妙，那麼你這個人就算不上是個人，就不知好歹了，也就失去了鑒别能力。 天文學也是一樣的，它之所以是數學，說的是天體之間的這樣一些關系，也是我們人本來就能夠看懂的。所以數學在希臘人那裡，扮演的角色，其實就是跟剛才講的自由的科學，是一脈相承的。

“算數”的内容

那麼這一講，我們就先嘗試談一談“算數”。希臘的算術，在今天，跟我們計算也有關系，但其實在希臘時期，跟計算沒有任何關系。希臘人另外有一門學科，是管計算的，接近千我們中國古代的算數，是專門研究計算的。比方說“5 3=8，8×3=24”，這是計算類的，它并沒有被希臘人看作是每個人都必須學的。相反每個人都必須學的算數，它講的不是計算，講的應該是數之間的關系和道理，我們把它譯成數理學大概是更準确的，現在也有人把它譯成數論，它是研究數的。

（圖）《白銀帝國》中，賬房先生把算盤接成一圈，計算年終分紅。跟希臘人不同，中國人更偏向千實用的計算

“算數”的根源

那麼研究數，它有個什麼講究呢？希臘的這個算數，它根源于畢達哥拉斯學派。畢達哥拉斯這個人也是一個神人，他在古代世界創辦了一個集科學、哲學、宗教、政治，四位一體的這麼一個組織。這個組織成員都信奉畢達哥拉斯所說的，數即萬物，萬物即數，這樣的哲學信念，他也秉承某些很神秘的宗教信念。比方說圓是最完美的，所以黃豆不能吃之類的這些思想。他們當然也是一些有政治抱負的人，所以畢達哥拉斯學派造就了希臘的算術傳統，那麼畢達哥拉斯搞算數，搞什麼呢？

畢達哥拉斯的“算數”研究

剛才說了他并不搞計算，他主要做的事情是研究數之間的關系，他研究事物的分類體系，研究不同的數之間如何能夠達成這樣一種和諧的比例關系，有點像我們古代的數秘術。

但是，我們的數秘術更多的是講破解，比方說這個數意味着什麼，那個數意味着什麼。所以，我們中國的數秘術在占的方面比重較大，而數方面下功夫不多。

我們知道，中國的算術在古代是相對比較簡單的，無非用八卦或二進制。相反，畢達哥拉斯學派在數理方面下功夫很多，他分了很多類别，比方說奇數偶數，是從那繼承下來的，他強調奇數偶數本身就表達世界的兩類不同性質，和我們中國文化相反，我們中國人重視雙數，不重視單數，因為好事成雙，所以我們很喜歡雙數，覺得雙數更吉利，單數不夠吉利。不過畢達哥拉斯學派代表着希臘思想，認為奇數更吉利，偶數不夠吉利，這個想法跟我們相反。

中國古代建築的“門當戶對”

第一次數學危機

但算數最後其實沒有辦下去，沒搞清，主要原因就是我們今天知道的，所謂的第一次數學危機。

第一次數學危機是個什麼危機呢？說來也很有意思，就是根号二的發現。那麼根号二是個什麼東西呢？我們知道，它的平方等于2，它自己就叫根号二。

那麼畢達哥拉斯學派早年發現了一個畢達哥拉斯定理，我們中國人現在稱為“勾股定理”，就是，直角三角形，它的直角邊的平方和，等于斜邊的平方，因此一個等腰的直角三角形，那麼它的斜邊就是根号二。

那麼按照畢達哥拉斯學派的看法，既然你是一個等腰直角三角形的斜邊，那麼這個斜邊就應該是一個數，如果你是一個數的話，那麼就應該可以寫成數的比例，這是他們的一個基本的教條。結果，就有一個人發現，其實根号二是不能寫成兩個數的比例的，用我們今天說的話就是，根号二是一個無理數，或者說它是一個無限不循環小數，無限不循環的意思就是說，你沒法寫成兩個數的比例。

其實，這件事情在我們聽起來也無所謂了，可是對畢達哥拉斯學派來說就是個大事情，因為他們一直秉承的“萬物皆數，數即萬物”，事物的規律就是世界的規律，因此你突然發現一個東西，它不是個數，不能按照傳統的方法來表示數的比例的話，那對他們來講就是一個很大的事情。所以據說在場的人都十分的痛苦，想了半天也沒有辦法，發現那個人的證明就是對的。據傳說，最後他們沒有辦法，就把那個發現根号二不是個數的女人扔到海裡去了。所以我們說，第一次出現危機，實際上是表現了“數即萬物”這件事情産生了一個很重要的困難。

第一次數學危機這個事情，在我們中國人看來，是個笑話。你發現根号二不是個數就不是，你把他扔到海裡去幹什麼，這隻能說明某些在人家看來非常重要的，非常不能容忍的事情，在我們看來其實是無所謂的。

中國人對什麼比較有所謂呢？我們中國人對關系很看重，不能夠颠倒， 在禮儀上也不能夠有差錯。至于說，天地萬物這些數學規則，那都沒必要講那麼嚴格。所以中國自古以來，對宇宙的形狀，始終是抱有一種無可無不可的态度，以至于我們過去認為天圓地方，後來也有人說其實天圓地也是圓的，多數人也覺得不置可否。甚至，洋人來了之後 說地球其實是一個球體，我們也就慢慢接受了，之所以能夠接受，就是因為我們根本上就不在乎。而相反，西方人對道理、觀念、理論， 摳得比較死。所以我們說第一次數學危機所産生的這樣一種血案，也反映出希臘人那種特有的精神氣質和他的科學精神，就是很拘泥很較真。

希臘第一次數學危機以後，算數就沒有辦法再發展了，因為人們發現不僅根号二不是個數，在那個意義上，根号三、根号五、根号七都不是個數，也就是一大堆東西都不是數，那麼傳統意義上這個算數的規範就沒法做下去了。所以希臘的算數，後來就衰落了，最後帶出來另外一個學科，就是“幾何學”。

《科學簡史：什麼是科學》導讀：

第一章 中國人都在誤解的“科學”

• 科學簡史01：中國人對科學的最大誤解，科學與科技不分
• 科學簡史02：“Science”怎麼會被翻譯成“科學”？
• 科學簡史03：對科學的盲目崇拜：祖傳秘方，科學配置
• 科學簡史04：認識科學，為什麼從人文下手？

第二章 西方科學的源頭：希臘理性科學

第一節：科學為什麼在中國出不來

科學簡史05：科學為何在中國出不來（上）種田太優秀

科學簡史06：科學為何在中國出不來（下）仁禮的關系

第二節：契約精神，科學誕生的文化土壤

科學簡史07：西方文化的本質差異（上）- 守規矩

科學簡史08：中西方文化的本質差異（中）-“自由”差異

科學簡史09：中西方文化的本質差異（下）：科學誕生的土壤

第三節：古希臘的自由科學

科學簡史10：“百無一用”是科學

科學簡史11：為什麼數學是科學的入門？（當前篇）

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