三角形和圓的圖形推理?文：浣熊老師這是圖解數學的第 4 期，現在小編就來說說關于三角形和圓的圖形推理?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

三角形和圓的圖形推理

文：浣熊老師

這是圖解數學的第 4 期。

「圖解數學」系列用學生看起來最為直觀的圖形，載12期，來解SAT/ACT/AMC8平面幾何的考點，并提供中英文對照。

1.麥田怪圈中最常見的圖形

2.内接圓與内心

3.外接圓與外心

4.有關内心與外心的常用比例

我小時候聽說了一個有意思的事情：人們航拍時發現麥田或其它田地上，出現了農作物被壓平而産生出的幾何圖案，這些圖案有三角有圓圈，人們把這個現象稱為麥田怪圈（Crop Circle）。

有人認為它是某些人故意做出來的；也有人認為麥田怪圈的出現是因為外星人或者某種怪力。至今人們對怪圈的成因還不确定，所以有“磁場說”“預告說”“高頻輻射說”等多種說法。

無論那種說法，它的圖形總是這樣的：由圓和三角組合而成。可見，無論是任何國家的人或是外星人（如果有的話），都認為三角形和圓形的組合是最本質、最有趣的圖案之一。

那麼三角形和圓有哪些組合方式呢？我們今天就來學習一下。

在三角形内部，和三角形三邊都相切的圓叫做内接圓 (inscribed circle)，這裡補充講一下相切 (touth) 的定義：圓和直線有且僅有一個交點叫做相切。所以内切圓的意思就是在三角形内部的一個圓，它和三角形三邊所在的直線都有且僅有一個交點。

這樣的圓怎麼做出來的呢？

我們需要做三個角的角平分線 （angle bisector），三角形三個角的角平分線會交于一點，由角平分線的性質，這個點到三邊的距離相等。

因為這個點到三邊的距離 r 相等，所以以這個點為圓心，r 為半徑做圓，圓就會和三邊都相切，這個圓就叫做三角形的内接圓。

通過上述過程，我們知道，無論這個三角形長什麼樣，三角形内接圓都存在且唯一。内接圓圓心叫做内心 (incenter)。

講完了内接圓，我們來講和三角形密切相關的另一個圓。

在三角形外部，也有這麼一個圓，剛好就過三角形的三個頂點。我們把這個圓叫做三角形的外接圓 (circumcircle)。

這個圓怎麼做出來的呢？

首先，我們要做每條邊的垂直平分線 (perpendicular bisector)。注意，不是垂線，垂線是從頂點往邊做垂直的直線。而我們現在要做的垂直平分線是先找出每條邊的中點，然後做垂線，如下圖。

三條邊的垂直平分線交于一點，因為垂直平分線的性質就是到線段兩端距離相等，所以垂直平分線的交點到三個頂點距離都相等，如下圖藍線。

我們以垂直平分線交點為圓心，相等距離 R 為半徑做圓，就會經過三個頂點。這個圓就叫做三角形的外接圓。

通過上述過程，我們知道，無論這個三角形長什麼樣，三角形内外圓也都存在且唯一。外接圓圓心叫做外心 (circumcenter)。

最後我們來講一個具體的三角形，以邊長為 a 的正三角形為例，内接圓半徑 r 以及外接圓半徑 R 和三角形邊長是什麼關系？

我們把内接圓半徑 r、外接圓半徑 R 都在圖中标出，發現和邊長的一半剛好構成了一個30°的直角三角形，利用30°直角三角形三邊的比例關系。可以算出：

有趣的是：正三角形内接圓半徑剛好等于外接圓半徑的一半。

今天你學習了《圖解數學》的第四講，了解内接圓和外接圓，也學會計算内接圓外接圓半徑的技巧。恭喜你，又解鎖了一個新章節。下次我們将學習垂心與重心。

喜歡圖解數學嗎？喜歡就點個贊，推薦給朋友吧。圖解數學怎樣能更好的幫到你？歡迎給我留言或私信。

關注史蒂文愛學習，獲取更多圖解數學系列的文章。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!