【知識要點】

（1）定義：經過某一條線段的中點，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）垂直平分線，簡稱“中垂線”．

（2）性質：

①垂直平分線垂直且平分其所在線段．

　　②垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等．

　　③三角形三條邊的垂直平分線相交于一點，該點叫外心，并且這一點到三個頂點的距離相等．

（1）定義：從一個角的頂點引出一條射線,把這個角分成兩個完全相同的角,這條射線叫做這個角的角平分線

（2）性質：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等．

注意：

①這裡的距離是指點到角的兩邊垂線段的長；

②該性質可以獨立作為證明兩條線段相等的依據，有時不必證明全等；

③使用該結論的前提條件是圖中有角平分線，有垂直角平分線的性質語言：

如圖，∵C在∠AOB的平分線上，CD⊥OA，CE⊥OB∴CD=CE

（1）從三角形的一個頂點向底邊作垂線，垂足與頂點之間的線段叫做三角形的高．

（2）三角形一個内角的平分線與這個内角的對邊交于一點，則這個内角的頂點與所交的點間的線段叫做三角形的角平分線．

（3）三角形一邊的中點與此邊所對頂點的連線叫做三角形的中線．

内心：三條角平分線的交點

垂心：三條高線的交點

重心：三條中線的交點

（1）等腰三角形的概念

有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形．

（2）等腰三角形的性質

①等腰三角形的兩腰相等

②等腰三角形的兩個底角相等．【簡稱：等邊對等角】

③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合．【三線合一】

（3）在①等腰；②底邊上的高；③底邊上的中線；④頂角平分線．以上四個元素中，從中任意取出兩個元素當成條件，就可以得到另外兩個元素為結論．

（1）等邊三角形的定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形，等邊三角形是特殊的等腰三角形．

①它可以作為判定一個三角形是否為等邊三角形的方法；

②可以得到它與等腰三角形的關系：等邊三角形是等腰三角形的特殊情況．在等邊三角形中，腰和底、頂角和底角是相對而言的．

（2）等邊三角形的性質：等邊三角形的三個内角都相等，且都等于60°．

等邊三角形是軸對稱圖形，它有三條對稱軸；它的任意一角的平分線都垂直平分對邊，三邊的垂直平分線是對稱軸．

兩個一半定理：

（1）30度角所對的直角邊等于斜邊的一半。

（2）直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半。

（1）兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一種特殊的三角形，具有所有三角形的性質，還具備等腰三角形和直角三角形的所有性質．即：兩個銳角都是45°，斜邊上中線、角平分線、斜邊上的高，三線合一，等腰直角三角形斜邊上的高為外接圓的半徑R，而高又為内切圓的直徑（因為等腰直角三角形的兩個小角均為45°，高又垂直于斜邊，所以兩個小三角形均為等腰直角三角形，則兩腰相等）；

黃金三角形：黃金三角形是一個等腰三角形，其腰與底的長度比為黃金比值．

黃金三角形分兩種：①等腰三角形，兩個底角為72°，頂角為36°；②等腰三角形，兩個底角為36°，頂角為108°

【練習】

1．如圖所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于D，△ABC的周長為36，AD＝12，則△ADC的周長為　 　．

2．如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝40°，AD是中線，BE是高，AD與BE交于點F，則∠AFE＝　 　．

3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若CD＝BD，點D到邊AB的距離為6，則BC的長是（　　）

A．6 B．12 C．18 D．24

4．如圖，把一張長方形紙條ABCD沿EF折疊，若∠1＝56°，則∠EGF應為　 　．

5．如圖，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交AB于點D，交CA的延長線于點E，∠EBC＝42°，則∠BAC＝（　　）

A．159° B．154° C．152° D．138°

6．如圖，Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC＝56°，将△ABC沿着DE翻折，使得點C恰好與點B重合，連接BE，則∠AEB的度數為（　　）

7．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，CD是∠ACD的平分線，若BD＝2，AC＝8，則△ACD的面積為　 　．

8．如圖，OC平分∠AOB，D為OC上一點，DE⊥OB于E，若DE＝5，則D到OA的距離為　 　．

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