1、已知：如圖，O為平行四邊形ABCD中心，DF⊥AC于F,CE⊥BD于E,EF交AB于G。

求證：GO⊥AD

（高中聯賽難度幾何100題之74，田開斌 題）

思路分析：顯然CDEF共圓，圓心J為CD中點，從而需證GO⊥JO，這顯然是蝴蝶定理之逆，延長GO交DC于K，則OG=OK,從而得證。

證明：設GO交CD于K，由對稱性知OG=OK；

設J為CD中點，由垂直得CDFE共圓，且圓心J為BC中點，

由蝴蝶定理逆定理即知JO⊥OG，

又由中位線定理得OJ//AD,

故GO⊥AD。

注：本題證明方法比較多。除了上述蝴蝶定理方法以外，還可以用根軸（田開斌老師的解答就是利用根軸解決的）。當然還可以使用其他計算方法等。不過如果能想到蝴蝶定理，本題能迅速得到解決。

2、已知：如圖，△ABC中，D為BC中點，以AD為直徑的圓交AB、AC于E、F。

此圓在E、F處切線交于G。

求證：GD⊥BC

思路分析1：類似蝴蝶定理證法2，過G作兩邊垂線，由垂直得共圓倒角得相似，為了利用垂直，采用同一法。

證明1：根據圖形的唯一性，我們證明其逆命題，即由GD⊥BC證明BD=CD,

設GH⊥AB于H,GI⊥AC于I,

由切線知∠HEG=∠EDA,∠IFG=∠FDA,

又GE=GF,故HF:ED=GE:AD=GF:AD=IF:DF,

故∠EDH=∠FDI。

由垂直得BHDG,GICD共圓，又GH//DE,GI//DF,

則∠DBG=∠GHD=∠HDE=∠FDI=∠DIG=∠DCG,

故GB=GC,DB=DC，證畢。

思路分析2：看到平分和垂直想到蝴蝶定理。

E、F在以G為圓心的圓上，由切線倒角得到IGJ共線，

由垂直得直徑與共圓，

利用蝴蝶定理逆定理即得。

證明2：如圖，顯然GE=GF，

設以G為圓心GE為半徑的圓交射線AB、AC于I、J，

由GE為圓的切線得∠EIG=∠IEG=∠AFE=∠EIJ,

故IGJ共線。

又∠AED=90°,則E,D,J共線，

同理F,D,I共線。

又DB=DC,

由蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。

注：1）證法1相當于證明了本題的逆命題，本題的證明嚴格上可以這樣叙述：

設過E的圓的切線交過D的BC的垂線于G',G'F'為圓的另一個切線，

AF'交BD于C',由證法1知DB=DC',從而C,C'重合，即原結論成立。

2）證法2将其巧妙轉化為蝴蝶定理，不過還要由切線證明三點共線，才能完成證明。本證法最終圖形與《蝴蝶定理之八》的第1題殊途同歸。将其對照會有更多收獲。這也算是本題的一種本質。

3）本題有很多解法，葉中豪老師得到不少解法，也對其做過很多推廣。不過一言以蔽之：蝴蝶定理算是本題的一種本質認識。

3、如圖，已知△ABC旁切圓I切三邊于D,E,F,EF交ID于H，AH交BC于M。

求證：MB=MC,

（1991年四川省競賽題）

思路分析1：類似于切割線蝴蝶定理證法1，

過H作BC平行線，得到共圓倒角即可。

證明1：設過H的BC平行線交AB,AC于J,K，

由垂直得IJFH,IHKE共圓，

故∠IJH=∠IFH=∠IEH=∠IKH,

故IJ=IK,HJ=HK,

由JK//BC,從而MB=MC。

思路2：利用正弦定理或分角定理以FH:HE為媒介進行計算即可。

證明2：設△ABC三個角為A,B,C,

由垂直得BFID,DIEC共圓，

故∠FID=∠B,∠DIE=∠C,

△IFE中，由正弦定理得：

FH:HE=sin∠FID:sin∠DIE=sinB:sinC,

△AFE中，由正弦定理得：

sinB:sinC=FH:HE=sin∠FAH:sin∠HAE,

△ABC中，由正弦定理得：

BM:CM=ABsin∠FAH:(ACsin∠HAE)

=(sinC:sinB)*(sin∠FAH:sin∠HAE)=1,

即MB=MC。

注：1）解法1通過精妙的平移轉化，輕松倒角得證。其思路和《蝴蝶定理之四》第1題的最經典的證法1異曲同工。也與上題的思路1如出一轍。

2）證法2沒有添加輔助線，隻是通過簡單三角計算即得，也不失為一種合理的證法，值得體會學習。

3）本題很經典，解法也很巧妙簡潔，人見人愛，花見花開。我們在雞爪定理裡面反複強調，每一個内心具有的性質旁心都有。不難想象，本結論對内切圓也是成立的，這正是2010年北方競賽的第6題，如下圖所示。證明當然也是如出一轍。

4、已知：如上圖，△ABC中，D、K分别為BC、AD中點，E、F為D在AB、AC上垂足，

KE,KF交BC于M,N。O、O'為△EMD、△FND外心。

求證：OO'//BC

（2017年東南數學奧林匹克競賽第2題）

思路分析：設圓O、O'交于D、G。若OO'//BC則GD⊥BC,GE⊥ME,GF⊥FN,則本題

化為第2題，下面隻需考慮如何轉化即可。想到第2題證法2，利用其輔助線及蝴蝶定理

即可證明。

證明：如圖，設DE交AF于L，DF交AE于J，LJ中點為G，

由垂直得JEFL、AEDF共圓，

則∠GEJ=∠GJE=∠AFE=∠ADE=∠KED

則GE⊥KE,同理GF⊥KF。

由DB=DC,根據蝴蝶定理逆定理知GD⊥BC。

故MEDG,NFDG共圓，

故O、O'為MG、NG中點，

則OO'//BC

注：本題證法比較多，上述證法是本人聯系到第2題得到的。這也說明本題的本質是蝴蝶定理，算是第2題的進一步加深。

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