一、初中所學知識與本章有哪些聯系？

(1）初中階段我們已經學習了一次函數，知道它的圖象是一條直線，本章學習中，我們會給出直線的幾種方程形式，并根據方程畫出相應直線；

(2）初中階段我們已經學習了點與點、點與線、線與線距離的幾何求法，本章我們将用直線方程借助代數法求解；

(3）初中階段已知道了直線與直線的垂直與平行關系，本章将利用直線方程加以靈活判斷；

(4）平面幾何中已經學習了圓的定義，在此基礎上學習圓的标準方程與一般方程；

(5）平面幾何中已經學習了直線與圓、圓與圓的位置關系，本章将利用直線方程與圓的方程來判定相關的位置關系。

二、本章需要掌握的内容有：

2個重要概念：傾斜角，斜率；

3種重要方程：直線的方程，圓的标準方程，圓的一般方程；

3種直線位置判定：平行，垂直，相交；

3種位置關系：點與圓，直線與圓，圓與圓；

5個常用公式：斜率公式，兩點間距離公式，點線距公式，線線距公式，圓的弦長公式；

1種重要方法：坐标法。

三、思想方法歸納

1，數形結合的思想

本章中，直線與圓本身就是幾何圖形，解題時要充分利用圖形的直觀性和圖形自身的幾何性質，特别是一些關于位置關系、參數範圍、圖形對稱、距離最值等的問題，借助數形結合，往往能簡化解題過程，快速得出結論。

2，分類與整合的思想

分類與整合的思想是數學的基本思想之一，其實質就是把整體問題化為部分問題，從而增加題設的條件來解決問題，在用二元二次方程表示圓時，在求直線的斜率時，在分析直線、圓的位置關系時都要分類讨論。

3，函數與方程的思想

方程思想，就是通過解方程（組）或對方程（組）的研究，使問題得到解決，本章中，直線與直線、直線與圓、圓與圓之間的位置關系問題、交點問題都可以通過研究相應的方程（組）來解決。函數思想，就是通過函數的形式，用運動和變化的觀點，分析和研究具體問題中的數量關系，把這種數量關系表示出來并加以研究，從而使問題獲得解決。本章中，一些涉及最值的問題，可以建立變量間的函數關系，利用函數的知識進行求解。

四、專題歸納總結

1，直線與圓中的對稱問題

（1）中心對稱問題

a，點關于點對稱

若點P,Q關于點M對稱，則點M為線段PQ的中點。設點P的坐标為（x0，y0），點 M 的坐标為（a,b)，則點Q的坐标為（2a-x0，2b-y0)。

b，直線關于點對稱

若兩條直線l1，l2關于點M（點M不在直線上）對稱，則l1 ⫽ l2且點M到直線l1，l2的距離相等。

設l1：Ax By C=0，點M的坐标為（a,b)，則l2的方程為A(2a-x) B(2b-y) C=0。

c，圓關于點對稱

若兩個圓關于點M對稱，則這兩個圓的圓心關于點M對稱，且半徑相等。

d，曲線f(x,y)=0關于點M(a,b）對稱的曲線方程為f(2a-x,2b-y)=0。

（2）軸對稱問題

a，點關于直線對稱

若點P,Q關于直線l對稱，則直線l為線段PQ的垂直平分線。

若點P的坐标為（x1,y1)，直線l的方程為Ax By C=0(A,B≠0)，設點Q的坐标為（x2,y2），則（y2-y1)/（x2-x1)=B/A，A·(x1 x2)/2 B·(y2 y2)/2 C=0，由此可求出點Q的坐标。

b，在直線關于直線對稱

若兩條直線l1,l2關于直線l對稱，有兩種情形：

①若l1 ⫽ l，則l1 ⫽ l2,且直線l到直線l1，l2的距離相等；

②若l1∩l=P，則直線l2過點P，且直線l為直線l1,l2夾角（或其鄰補角）的平分線。

注意：若兩條直線l1，l2關于直線l對稱，則直線l2上的任意一點關于直線l對稱的點都在直線l2上。

c，圓關于直線對稱

若兩個圓關于直線l對稱，則這兩個圓的圓心關于直線l對稱，且半徑相等。

2，直線與圓相交時弦長的求法

直線與圓相交時，會形成一條弦，弦長的求法主要有以下三種：

a，先求交點，再利用兩點間的距離公式

若直線與圓的兩個交點分别為A(x1,y1),B(x2,y2)，則弦長|AB|=根号下(x 1一x2)的平方 (y1ーy2)的平方。

b，利用勾股定理

若弦心距為d，圓的半徑為r，則弦長l=2根号下r的平方-d的平方。

c，利用弦長公式

若直線l的斜率為k，與圓的兩個交點分别為 A(x1,x2), B (x2,y2)，則弦長|AB|=根号下(1 k的平方)·|x1-x2|=根号下(1 k的平方)[(x1 x2)的平方-4x1x2]或|AB|=根号下(1 1/k方)|y1-y2|。

說明：方法1思路簡單但運算較複雜，主要用于直線與圓的方程比較簡單的題目中；

方法2利用了垂徑定理，計算較簡單，是求圓的弦長最重要的方法；

方法3利用根與系數的關系，避免了求交點坐标，可以在一定程度上簡化運算，适用于含有參數的問題，并且這種方法在下一章中有更多的應用。

d，圓的幾種特殊弦

(1）過圓内一點（不包括圓心）的最長弦和最短弦

圓的最長弦一定是直徑，因此求過圓内一點（不包括圓心）的最長弦所在直線方程就是求過圓心和該點連線的方程；由垂徑定理知最短弦滿足其所在直線與前面所說的最長弦所在直線垂直。

(2）以圓内一點（不包括圓心）為中點的弦

根據圓的幾何性質知，弦（不是直徑）的中點與圓心的連線與弦所在直線垂直，因此求以圓内一點（不包括圓心）為中點的弦所在直線方程的方法如下：先求出中點（已知點）與圓心連線的斜率（若不存在，則所求直線的斜率為0)，從而得出所求直線的斜率（若前面所求斜率為0，則此處斜率不存在），再根據直線的點斜式方程寫出所求直線方程即可。

(3）兩圓相交時的公共弦

求兩相交圓公共弦所在直線方程，隻需将兩個圓的一般方程直接相減消去二次項即可，弦長的求解還是運用垂徑定理。

3，圓上的點到定點或定直線的距離的最值問題

a，圓上的點到圓外定點的距離的最值

設圓C的半徑為r，點Q為圓外一點，點P為圓C上任意一點，則|PQ|的最小值為|QC|-r，最大值為|QC| r。當P,Q,C三點共線，即點P與點N或點M重合時，分别取得最小值和最大值，如圖2-5所示。

b，圓上的點到定直線的距離的最值

已知直線l和圓C，圓C的半徑為r，點P為圓C上任意一點。過圓心C作直線l的垂線，垂足為Q，交圓C于點M,N .

(1）若直線l與圓相離或相切，則點P到直線I的距離的最小值為|NQ|=|CQ-r，最大值為|MQ|=|CQ| r，如圖2-6和2-7所示。

(2）若直線l與圓相交，則點P到直線l的距離的最小值為0，最大值為|MQ|=|CQ| r,劣弧上的點到直線l的最大距離為|NQ|=r-|CQ|，如圖2-8所示。

方法點撥：圓中的最值問題往往轉化為圓心到幾何對象的距離的最值問題，有時也可利用三角換元把最值問題轉化為三角函數式的最值問題來處理。

規律總結：設圓心到直線的距離為d，圓的半徑為r,

(1）若圓上有且僅有四個點到直線的距離為m，則0≤d＜r-m;(2）若圓上有且僅有三個點到直線的距離為m，則d=rーm;(3）若圓上有且僅有兩個點到直線的距離為m，則r-m<d＜r m;(4）若圓上有且僅有一個點到直線的距離為m，則d=r m。

4，阿波羅尼斯圓及其應用

阿波羅尼斯是古希臘數學家，與歐幾裡得、阿基米德齊名。他的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果。阿波羅尼斯圓是其成果之一。

在平面上給定兩點A,B，設點P在同一平面上且滿足|PA|/|PB|=入，當入＞0且入≠1時，點 P 的軌迹是一個圓，我們把這個軌迹稱之為阿波羅尼斯圓（入＝1時，點 P 的軌迹是線段 AB的垂直平分線）。

這個基于線段比産生的圓在高考中有着廣泛的應用。下面我們做個簡單的總結。

a，阿波羅尼斯圓的相關性質

相加為定值：阿波羅尼斯圓

定理：A,B為平面上兩已知點，P,Q分别為線段AB的定比為入（入>0且入≠1）的内外分點，則以PQ為直徑的圓O上任意一點到A,B兩點的距離之比為入。

b，阿波羅尼斯圓的應用

(1)考查阿波羅尼斯圓的性質；

(2)考查與阿波羅尼斯圓的軌迹方程有關的問題。

0×10奇妙的阿波羅尼斯圓

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