34 證明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

35 求滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動點M的軌迹。判定并證明A’B’與軌迹的位置關系。

36 切點三角形面積和外切三角形面積之比是否為定值

37 對于抛物線上定點AB，在AB内部的抛物線上求點C，使得△ABC面積最大

38 設△ABC’面積為1，請計算抛物線與AB圍成的弓形的面積。

34 證明 A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

證明：

則由上節結論6知相應坐标為

即A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’。

35 求滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動點M的軌迹。判定并證明A’B’與軌迹的位置關系。

證明：

設A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’=k,

即A’B’斜率恰為抛物線經過M點的切線斜率，

故A’B’與抛物線相切于M。

注：

1)此結論在意料之中，隻需照貓畫虎、按部就班的把上題證明倒着寫一遍即可。不難想象，本題還能進一步推廣為：

對給定三角形C’AB,滿足A’C’/BA’=B’A/B’C’=BM/MA’且A’B’M，C’A’B,C’B’A共線的動點M的軌迹為一條與C’A,C’B,相切于A,B的定抛物線。進一步，A’B’始終與此抛物線相切。不過要注意的是一般的抛物線方程未必是标準方程，可能會比較複雜。

2)不難發現，性質31中的RQ其實就滿足上述比例關系，因此RQ為抛物線的切線。

36 切點三角形面積和外切三角形面積之比是否為定值

思路一：直接用坐标算出兩個三角形的面積公式。先得到一般的任意三角形的面積公式，然後代入即可。

解法一：

下面回到本題，将本題中ABC,A’B’C’坐标代入上述公式即得

思路二：利用結論33，将本題可以轉化為平面幾何面積問題，隻需要設出比例，利用比例關系計算相應面積即可。

解法二：

利用結論33，令A’C’/BA’=B’A/B’C’=BC/CA’=k,則

故[ABC]=2[A’B’C’],即切點三角形面積為外切三角形面積的2倍。

注：

(1) 上述引理的面積表達式優美而且重要，證明也比較自然而簡潔，就是用割補法表達出面積即可算得。當然熟悉行列式的讀者應該知道，此面積可以用行列式簡單明了的表達出來，

考慮到中學生一般都沒接觸過行列式，這裡就不再贅述。感興趣的讀者可以自行查閱相關資料。特别的，當三角形的一個頂點為原點時，此面積表達式隻有兩項，是一個教材中的常見的結論。

(2) 需要說明的是，考慮到坐标可能會出現負值，上述面積表達式最好帶上絕對值，例如細心的讀者會發現本題後面的面積表達式的符号是相反的。其實可以不引入絕對值，引入有向面積會更合理。類似于三角函數中正角的規定，我們規定，逆時針旋轉的三角形的面積為正的，順時針旋轉的三角形面積為負值。這樣就能發現本題中兩個三角形因為旋轉方向相反，所以比值為負值，其實這樣的規定更合理，而且更精确。

(3) 本結論是抛物線一個優美而深刻的性質。特别的，當C為AB中點時，則A’,B’也為中點，

就得到前面的結論6，即C’C為中線，并能進一步得到中線C’M中點也在抛物線上且過此點的抛物線的切線和AB平行，當然也能計算得到。

(4) 上述證法二是面積法的常用技巧，其中第一個面積公式因為三個三角形底邊相同，故本質是線段的定比分點公式，這是基礎而常見的結論。

(5) 由上述證法二可以得到一個一般的平面幾何問題，即：

如圖，BEA,AFC,EDF共線，且BE/EA＝AF/FC＝ED/DF。

求證：[DBC]＝2[AEF]。

37 對于抛物線上定點AB，在AB内部的抛物線上求點C，使得△ABC面積最大

思路一：

利用36題中得到的三個點的面積公式，得到一個二次函數，用均值不等式或者對稱軸即能解決。

思路三：

利用幾何意義，本題相當于求AB弧内部到AB距離最大的點，将AB平移，則當距離最大時，此直線會和抛物線相切，從而隻需求切線斜率和AB相同的點C即可。

解法三：

注：

上述三種解法殊途同歸，結果很好理解，就是上題中當C’C為C’AB中線時，取得最大值。前兩種解法都是化為二次函數，用均值不等式或者對稱軸解決，解法三利用幾何意義，結論似乎顯然，也是最常見的解決方法。不過嚴格上說證明并不是很嚴謹。不難發現本結論也和前面結論8暗合。

38 設△ABC’面積為1，請計算抛物線與AB圍成的弓形的面積。

思路：考慮上題結論中的特例，當C’C為中線時，則△ABC面積為0.5.

繼續如法炮制，過A’,B’作x軸平行線，則和抛物線圍成的面積是剩下面積的1/4，

如此反複操作，每次新增加的面積都是上一個面積的1/4，得到一個無窮遞縮等比數列，

求和即得。

解：考慮36題結論中的特例，當C’C為中線時，則[△ABC]=1/2.

繼續如法炮制，過A’,B’作x軸平行線，交抛物線于A’’,B’’.

則同理有

即抛物線面積為2/3.

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