虛數單位i最常見的定義是=i, 還有定義=-1, (我比較喜歡的這個)。注意，對于負實值的平方根，或者任何根，當涉及到以下乘積時，你必須小心:

這顯然是錯的;應該是. =-1。這裡有一個限制:當取兩個負實數的平方根的乘積時，在相乘之前，應該先将每個因子轉換為一個複數。這個轉換看起來像這樣:

複數有實部和複部。例如，複數z=a bi有a的實部和b的虛部，可以寫成Re(z)=a, Im(z)=b。如果複數的實部是0，那麼這個數就是純虛數。像7這樣的數是一種普通複數，它的虛部是0。你可以在複平面上畫出複數，複平面有實軸和虛軸。這種a bi形式也被稱為複數的矩形形式。

在數字系統方面，N⊂Z⊂Q⊂R;;複數是實數的超集。它們是獨特的，具有現實世界的應用，就像複數所做的事情是實數有限做不到的。複數的集合類似于實數R，有序實對的集合(你可以把每一個複數看作是它的實部和虛部的有序對)。但是，複數的一個基本優勢超過了實數，就是求複數的乘積很簡單，結果是另一個複數;試圖求兩個有序實對的乘積是很複雜的。

在現實世界中，複數的應用出現在二維的流體力學中，或者在工程中表示平面的旋轉，因為複數提供了二維系統的美妙的表達方式。

基本算術:複數的求和，模和共轭

計算複數的和很簡單:你隻需要将它們各自的實分量和虛分量相加。例如:我(43 7i) (12−34i)= (43 12) i(7−34)= 65−27i。換句話說,z1 z2 = (Re (z1) (z2)] i [Im (z1) Im (z2)]。你隻要把i當做其他的常規的代數變量然後加上類似的項。更直觀的解釋方法是用複數的向量。當兩個複數相加時，你是在求兩個向量的和:你把一個向量的底平移到另一個向量的頂。

一個複數的絕對值/半徑/模量，就是一個數在複數平面的原點的位置。利用距離公式，我們得到了複數z=a bi的模r為r=。|z1−z2|是兩個複數的絕對值，表示複數平面上兩個複數點之間的距離。這樣的方程|z−(3 4i)|=3表示所有距離3 4i 3個單位的複數的集合。解集可畫成一個圓。

複數z=a bi的共轭，用z -表示，等于a - bi。換句話說，它是反映在實軸上的複數。它的性質是如果你取一個複數和它的共轭的乘積，你總是得到模的平方。事實上，這就是你如何得到平方和的公式:

共轭複數有許多性質;這裡列出一些:

這裡是一個衆所周知的定理的例子，涉及多項式利用共轭的性質:

複數共轭定理:給定多項式P(x),，如果a bi是多項式的根，那麼a-bi它也一定是根。

複數的極坐标形式

到目前為止，我們一直在考慮複數的實分量和虛分量形式。還有一種表示複數的方法在某些情況下更有用。它使用了複數的模量和它的輻角（由右x軸轉到指向複數的向量）。在下面的圖中，r是模數，是幅角。換句話說lzl=r, θ=arctan(y/x).

因此複數可以寫成：

複數還有一種極坐标形式：

利用它可推出著名的歐拉公式，請見複數的歐拉公式。

下面是利用複數的極坐标形式可以很方便地做複數的乘、除、乘方、開方的運算。

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