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【考試要求】梳理等式的性質，理解不等式的概念，掌握不等式的性質.

【知識梳理】

1.兩個實數比較大小的方法

(1)作差法

(2)作商法

2.等式的性質

(1)對稱性：若a＝b，則b＝a.

(2)傳遞性：若a＝b，b＝c，則a＝c.

(3)可加性：若a＝b，則a＋c＝b＋c.

(4)可乘性：若a＝b，則ac＝bc；若a＝b，c＝d，則ac＝bd.

3.不等式的性質

(1)對稱性：a＞b⇔b＜a；

(2)傳遞性：a＞b，b＞c⇒a＞c；

(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c；a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；

(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；

(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥1)；

(6)可開方：a＞b＞0⇒＞(n∈N，n≥2).

【微點提醒】

1.在不等式的兩邊同乘以一個正數，不等号方向不變；同乘以一個負數，不等号方向改變.

2.有關分數的性質

【規律方法】

1.作差法一般步驟：

(1)作差；(2)變形；(3)定号；(4)結論.其中關鍵是變形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式變成積式或者完全平方式.當兩個式子都為正數時，有時也可以先平方再作差.

2.作商法一般步驟：

(1)作商；(2)變形；(3)判斷商與1的大小；(4)結論.

3.函數的單調性法：将要比較的兩個數作為一個函數的兩個函數值，根據函數單調性得出大小關系.

4.特殊值法：對于選擇、填空題，可以選取符合條件的特殊值比較大小.

【規律方法】

解決此類題目常用的三種方法：

(1)直接利用不等式的性質逐個驗證；

(2)利用特殊值法排除錯誤答案，利用不等式的性質判斷不等式是否成立時要特别注意前提條件；

(3)利用函數的單調性，當直接利用不等式的性質不能比較大小時，可以利用指數函數、對數函數、幂函數等函數的單調性進行判斷.

【規律方法】

1.解決有關不等關系的實際問題，應抓住關鍵字詞，例如“要”“必須”“不少于”“大于”等，從而建立相應的方程或不等式模型.

2.利用不等式性質可以求某些代數式的取值範圍，但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值範圍.解決的途徑是先建立所求範圍的整體與已知範圍的整體的等量關系，最後通過“一次性”不等關系的運算求解範圍.

【反思與感悟】

1.比較法是不等式性質證明的理論依據，是不等式證明的主要方法之一，比較法之一作差法的主要步驟為作差——變形——判斷正負.

2.判斷不等式是否成立，主要有利用不等式的性質和特殊值驗證兩種方法，特别是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡單.

【易錯防範】

1.運用不等式的性質解決問題時，注意不等式性質成立的條件以及等價轉化的思想，比如減法可以轉化為加法，除法可以轉化為乘法等.但應注意兩點：一是必須嚴格運用不等式的性質；二是在多次運用不等式的性質時有可能擴大了變量的取值範圍.

2.形如例3－2探究2題型的解決途徑：先建立所求範圍的整體與已知範圍的整體的等量關系，再通過“一次性”不等關系的運算求解範圍.

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