數學解題方法

1

換元法

“換元”的思想和方法，在數學中有着廣泛的應用，靈活運用換元法解題，有助于數量關系明朗化，變繁為簡，化難為易，給出簡便、巧妙的解答。

在解題過程中，把題中某一式子如f(x)，作為新的變量y，或者把題中某一變量如x，用新變量t的式子，如g(t)替換，即通過令f(x)=y或x=g(t)進行變量代換，得到結構簡單便于求解的新解題方法，通常稱為換元法或變量代換法。

用換元法解題，關鍵在于根據問題的結構特征，選擇能以簡馭繁，化難為易的代換，f(x)=y或x=g(t)。

就換元的具體形式而論，是多種多樣的，常用的有有理式代換，根式代換，指數式代換，對數式代換，三角式代換，反三角式代換，複變量代換等，宜在解題實踐中不斷總結經驗，掌握有關的技巧。

例如，用于求解代數問題的三角代換，在具體設計時，宜遵循以下原則：

（1）全面考慮三角函數的定義域、值域和有關的公式、性質；

（2）力求減少變量的個數，使問題結構簡單化；

（3）便于借助已知三角公式，建立變量間的内在聯系。

隻有全面考慮以上原則，才能謀取恰當的三角代換。

換元法是一種重要的數學方法，在多項式的因式分解，代數式的化簡計算，恒等式、條件等式或不等式的證明，方程、方程組、不等式、不等式組或混合組的求解，函數表達式、定義域、值域或最值的推求，以及解析幾何中的坐标替換，普通方程與參數方程、極坐标方程的互化等問題中，都有着廣泛的應用。

2

消元法

對于含有多個變數的問題，有時可以利用題設條件和某些已知恒等式（代數恒等式或三角恒等式），通過适當的變形，消去一部分變數，使問題得以解決，這種解題方法，通常稱為消元法，又稱消去法。

消元法是解方程組的基本方法，在推證條件等式和把參數方程化成普通方程等問題中，也有着重要的應用。

用消元法解題，具有較強的技巧性，常常需要根據題目的特點，靈活選擇合适的消元方法。

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待定系數法

按照一定規律，先寫出問題的解的形式（一般是指一個算式、表達式或方程），其中含有若幹尚待确定的未知系數的值，從而得到問題的解。這種解題方法，通常稱為待定系數法；其中尚待确定的未知系數，稱為待定系數。

确定待定系數的值，有兩種常用方法：比較系數法和特殊值法。

01

比較系數法

比較系數法，是指通過比較恒等式兩邊多項式的對應項系數，得到關于待定系數的若幹關系式（通常是多元方程組），由此求得待定系數的值。

比較系數法的理論根據，是多項式的恒等定理：兩個多項式恒等的充分必要條件是對應項系數相等，即a(0)x^n a(1)x^n-1 … a(n)=b(0)x^n b(1)x^n-1 … b(n) 的充分必要條件是a(0)=b(0)， a(1)=b(1)，…… a(n)=b(n)。

02

特殊值法

特殊值法，是指通過取字母的一些特定數據值代入恒等式，由左右兩邊數值相等得到關于待定系數的若幹關系式，由此求得待定系數的值。

特殊值法的理論根據，是表達式恒等的定義：兩個表達式恒等，是指用字母容許值集内的任意值代替表達式中的字母，恒等式左右兩邊的值總是相等的。

待定系數法是一種常用的數學方法，主要用于處理涉及多項式恒等變形問題，如分解因式、證明恒等式、解方程、将分式表示為部分分式、确定函數的解析式和圓錐曲線的方程等。

4

判别式法

實系數一元二次方程ax^2 bx c=0(a≠0)（1）的判别式△=b^2-4ac具有以下性質：

對于二次函數y=ax^2 bx c(a≠0)（2）它的判别式△=b^2-4ac具有以下性質：

利用判别式是中學數學的一種重要方法，在探求某些實變數之間的關系，研究方程的根和函數的性質，證明不等式，以及研究圓錐曲線與直線的關系等方面，都有着廣泛的應用。

在具體運用判别式時，（1）（2）中的系數都可以是含有參數的代數式。

從總體上說，解答數學題，即需要富有普适性的策略作宏觀指導，也需要各種具體的方法和技巧進行微觀處理，隻有把策略、方法、技巧和諧地結合起來，創造性地加以運用，才能成功地解決面臨的問題，獲取良好的效果。

5

分析法與綜合法

分析法和綜合法源于分析和綜合，是思維方向相反的兩種思考方法，在解題過程中具有十分重要的作用。

在數學中，又把分析看作從結果追溯到産生這一結果的原因的一種思維方法，而綜合被看成是從原因推導到由原因産生的結果的另一種思維方法。通常把前者稱為分析法，後者稱為綜合法。

具體的說，分析法是從題目的等證結論或需求問題出發，一步一步的探索下去，最後達到題設的已知條件；綜合法則是從題目的已知條件出發，經過逐步的邏輯推理，最後達到待證的結論或需求問題。

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數學模型法

數學模型法，是指把所考察的實際問題，進行數學抽象，構造相應的數學模型，通過對數學模型的研究，使實際問題得以解決的一種數學方法。

利用數學模型法解答實際問題（包括數學應用題），一般要做好三方面的工作：

01

建模

根據實際問題的特點，建立恰當的數學模型。

從總體上說，建模的基本手段，是數學抽象方法。建模的具體過程，大體包括以下幾個步驟：

1

考察實際問題的基本情形

分析問題所及的量的關系，弄清哪些是常量，哪些是變量，哪些是已知量，哪些是未知量；了解其對象與關系結構的本質屬性，确定問題所及的具體系統。

2

分析系統的矛盾關系

從實際問題的特定關系和具體要求出發，根據有關學科理論，抓住主要矛盾，考察主要因素和量的關系。

3

進行數學抽象

對事物對象及諸對象間的關系進行抽象，并用有關的數學概念、符号和表達式去刻畫事物對象及其關系。如果現有的數學工具不夠用，可以根據實際情況，建立新的數學概念和數學方法去表現數學模型。

02

推理、演算

在所得到的數學模型上，進行邏輯推理或數學演算，求出相應的數學結果。

03

評價、解釋

對求得的數學結果進行深入讨論，作出評價和解釋，返回到原來的實際問題中去，形成最終的解答。

7

試驗法

解答數學題，需要多方面的信息。數學中的各種試驗，常常能給人以有益的信息，為分析問題和解決問題提供必要的依據。

用試驗法處理數學問題時，必須從問題的實際情形出發，結合有關的數學知識，恰當選擇試驗的對象和範圍；在制定試驗方案時，要全面考慮試驗的各種可能情形，不能有所遺漏；在實施試驗方案時，要講究試驗技巧，充分利用各次試驗所提供的信息，以縮小試驗範圍，減少試驗次數，盡快找出原題的解答。

任何試驗都和觀察相聯系。觀察依賴于試驗，試驗離不開觀察。因此，要用好試驗法，必須勤于觀察，善于觀察，有目的、有計劃、有條理地進行觀察。

8

分類法

分類法是數學中的一種基本方法，對于提高解題能力，發展思維的缜密性，具有十分重要的意義。

不少數學問題，在解題過程中，常常需要借助邏輯中的分類規則，把題設條件所确定的集合，分成若幹個便于讨論的非空真子集，然後在各個非空真子集内進行求解，直到獲得完滿的結果。這種把邏輯分類思想移植到數學中來，用以指導解題的方法，通常稱為分類或分域法。

用分類法解題，大體包含以下幾個步驟：

1

根據題設條件，明确分類的對象，确定需要分類的集合A；

2

尋求恰當的分類根據，按照分類的規則，把集合A分為若幹個便于求解的非空真子集A(1)，A(2)，…A(n)；

3

在子集A(1)，A(2)，…A(n)内逐類讨論；

4

綜合子集内的解答，歸納結論。

以上四個步驟是相互聯系的，尋求分類的根據，是其中的一項關鍵性的工作。

從總體上說，分類的主要依據有：分類叙述的定義、定理、公式、法則，具有分類讨論位置關系的幾何圖形，題目中含有某些特殊的或隐含的分類讨論條件等。

在實際解題時，僅憑這些還不夠，還需要有較強的分類意識，需要思維的靈活性和缜密性，特别要善于發掘題中隐含的分類條件。

9

數形結合法

數形結合，是研究數學的一個基本觀點，對于溝通代數、三角與幾何的内在聯系，具有重要的指導意義。理解并掌握數形結合法，有助于增強人們的數學素養，提高分析問題和解決問題的能力。

數和形這兩個基本概念，是數學的兩塊基石。數學就是圍繞這兩個概念發展起來的。在數學發展的進程中，數和形常常結合在一起，在内容上互相聯系，在方法上互相滲透，在一定條件下可以互相轉化。

數形結合的基本思想，是在研究問題的過程中，注意把數和形結合起來考察，斟酌問題的具體情形，把圖形性質的問題轉化為數量關系的問題，或者把數量關系的問題轉化為圖形性質的問題，使複雜問題簡單化，抽象問題具體化，化難為易，獲得簡便易行的成功方案。

中學數學中，數形結合法包含兩個方面的内容：一是運用代數、三角知識，通過對數量關系的讨論，去處理幾何圖形問題；二是運用幾何知識，通過對圖形性質的研究，去解決數量關系的問題。就具體方法而論，前者常用的方法有解析法、三角法、複數法、向量法等；後者常用的方法主要是圖解法。

10

反證法

反證法和同一法是間接證明的兩種方法，在解題中有着廣泛的應用。

反證法是一種重要的證明方法。這裡主要研究反證法的邏輯原理、解題步驟和适用範圍。

反證法的解題步驟：

1

反設

假設命題結論不成立，即假設原結論的反面為真。

2

歸謬

由反設和已知條件出發，經過一系列正确的邏輯推理，得出矛盾結果。這裡所說的矛盾結果，通常是指推出的結果與已知公理、定義、定理、公式矛盾，與已知條件矛盾，與臨時假設矛盾，以及自相矛盾等各種情形。

3

存真

由矛盾結果，斷定反設不真，從而肯定原結論成立。

反證法的三個步驟是互相聯系的。反設是前提，歸謬是關鍵，存真是目的。隻有正确地作出反設，合乎邏輯地進行推導，才能間接地證出原題。

11

同一法

互逆的兩個命題未必等效。但是，當一個命題條件和結論都唯一存在，它們所指的概念是同一概念時，這個命題和它的逆命題等效。這個道理通常稱為同一原理。

對于符合同一原理的命題，當直接證明有困難時，可以改證和它等效的逆命題，隻要它的逆命題正确，這個命題就成立。這種證明方法叫做同一法。

同一法常用于證明符合同一原理的幾何命題。

應用同一法解題，一般包括下面幾個步驟：

1、作出符合命題結論的圖形。

2、證明所作圖形符合已知條件。

3、根據唯一性，确定所作的圖形與已知圖形重合。

4、斷定原命題的真實性。

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