這是《機器學習中的數學基礎》系列的第16篇，也是微積分的最後一篇。

在實際生活和工作中，我們經常希望用多項式來近似某點處的函數值，而泰勒級數就是幹這個的。不過在正式介紹泰勒級數之前，我們先來看看高階導數與函數的凹凸性。

• 高階導數與函數的凹凸性

那麼什麼是高階導數？顧名思義，高階導就是求了很多次導數。舉個例子，函數y=x³的圖像如下：

圖1

如圖1所示，y的一階導，也就是第一次求導，y'=3x²，表示圖像的斜率。那如果我們對y'再進行求導呢？可以得到y''=6x，它的幾何意義又是什麼呢？一階導我們表示的是函數值的變化率，那麼二階導就表示斜率的變化率。進一步，我們說，如果二階導大于0，說明斜率是在一直增加的，此時函數是個凸函數；同理，二階導小于0，斜率在一直減小，函數為凹函數。

既然說到了凹凸函數，我們就來看看它的定義（機器學習領域，可能與數學領域有所不同）：

如果一個函數f是凸函數，那麼其滿足：f(tx (1-t)y)≤tf(x) (1-t)f(y)，其中x、y為函數定義域上任意兩點，t∈[0,1]。

可能看公式不容易那麼理解，我們就來畫個凸函數的圖像吧：

圖2

如圖2所示，我們首先來看tx (1-t)y，它保證了取值範圍是在x、y之間。為什麼呢？因為t∈[0,1]，把t=0代入，得到y；把t=1代入，得到x。因此tx (1-t)y的取值在x與y之間。那麼它對應的函數值自然就是：f(tx (1-t)y)。

下面我們看C點的值該如何求，我們再畫一個圖來說明：

圖3

如圖3，我們做了一條平行于x軸的線段AE。很容易看出△ACD相似于△ABE，因此有CD/BE=AD/AE。其中，CD的長是我們要求的，BE的長為f(y)-f(x)，AD的長為tx (1-t)y-x=(1-t)(y-x)，AE的長為y-x。所以，我們有：

約分化簡可得CD=(1-t)f(y) (t-1)f(x)。但我們想知道C的值，隻需再加上A點的函數值f(x)就可以了。因此，C點的值為(1-t)f(y) (t-1)f(x) f(x)=tf(x) (1-t)f(y)。Bingo！

我們再來觀察圖2，它是一個凸函數，那麼它的斜率就是不斷增加的，也就是說二階導始終大于0.

• 泰勒級數

有了以上的鋪墊，我們來看如何近似函數在某點的值。比如sin(x)在x=0處的函數值sin(0)怎麼來近似呢？

我們一般用多項式來估計，先上個二次多項式，f(x)=ax² bx c。然後再把sin(x)的圖像畫出來：

我們現在想用f(x)=ax² bx c來近似逼近sin(0)的值，隻需确定a、b、c三個參數的值就好了。

首先，這倆函數在0點的函數值得相等吧。也就是說，f(0)=sin(0)，而sin(0)=0，f(0)=c，因此c=0.

然後，這倆函數在0點處的斜率得相同吧。也就是說，它們的一階導相等，即f'(0)=sin'(0)，而sin'(0)=cos(0)=1，f'(0)=2a*0 b=b，化簡可得b=1.

最後，這倆函數在0點處的二階導也應該相等，即f''(0)=sin''(0)，而sin''(0)=0，f''(0)=2a，因此a=0.

綜上，我們用來近似的函數f(x)=0*x² 1*x 0=x。我們說二次多項式中對sin(x)在x=0處最好的近似函數就是f(x)=x，把x=0代入就得到近似值是0。

觀察我們上面的近似過程，可以得到下面的式子：

sin(x)≈sin(0) sin'(0)/1!*x sin''(0)/2!*x²

我們把它一般化，如果要近似任意函數f(x)在x=0處的值，可以表示為：

如果我們想近似函數f(x)在任意一點x=x0處的值，那麼可以表示為：

泰勒級數的應用還有很多，這裡就不一一展開了。這就是今天的全部内容，歡迎留言讨論。

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