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方程的一個根為一個複數

圖文更新时间:2024-10-11 20:24:39

對于實數系，1的任意次方的根都為1或，但是，在複數系下，1的n次方根則有必有n個不同根，即我們把這稱為n次單位根，以來指代第一個n次單位根，那麼很顯然，就是第k個n次單位根。

如果我們把複平面畫出來，那就可以很直觀地明白：1的n次方根其實就是将單位圓n等分，且相鄰兩點角度相差。

方程的一個根為一個複數（複數系下的單位根與分圓方程）1

從n次單位根的公式可以得知，當n為偶數時，單位根有1和-1兩個純實數根；當n為奇數時，除了1，其餘n-1個根均為複數根，尤其是n素數時，這n-1個根都不是次數比n低的單位根，我們稱之為本原單位根。本原單位根在分圓域的研究中是很重要的。有了n次單位根的公式，可以方便地求解任意複數的n次根：假設已知是某複數的一個n次根，則即為的n個根。

我們知道,所求的解即是n次單位根，那麼根據這個方程，可以得到：或者，我們把後者稱之為分圓方程。高斯在分圓方程的研究取得重要成果，證明了當n為素數時，分圓方程總能歸結為解一串較低次的方程，并且找到了能用二次根式解出的充要條件。舉例如下，當n=5時，分圓如下：

，由于x=0不是方程的解，因此方程兩邊同除以，

得：,

令,則,那麼上式可以轉化成：

根據二次方程求根公式，得

再利用二次方程求根公式，将中的x值求解出來。當然，其實這四個根用n次單位根的公式立即就可以求解出來，隻是利用n次單位根的公式得到的結果是用三角函數表示的，沒那麼直觀而已。由于這四個根是可以用直尺圓規構造出來，所以正五邊形是可以用直尺圓規畫出來的。高斯用了一個晚上證明了千年難題，即哪些正邊形可以用直尺和圓規作圖而得。

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