本文為“2022年第四屆數學文化征文活動

從肌肉記憶到《幾何原本》第四公理

作者 : 蒲定東

作品編号：069

（檀小七巧闆社團課，一年級同學在圖證剖分相等，對應《幾何原本》第二公理——等量加等量，其和相等）

從2020年秋季開學至今，檀木林小學七巧闆社團主要面向一、二年級學生招新，而之前隻招過五年級學生。孩子們對拼圖遊戲的興趣是與生俱來的，大人們則希望有些許引導，讓孩子們覺得數學好玩。

作為社團指導老師，在語言方面，我隻能将數學概念、術語轉換為孩子們生活中的熟悉的自然語言來表達。例如，全等拼圖，我說成雙胞胎拼圖。

更進一步，引導孩子們植根于肌肉記憶去發現。因為，孩子是用肢體去探索世界的，孩子的肢體是探索的主角，孩子的肢體不是孩子大腦的奴隸。孩子的大腦尚未受到語言的污染。

例如，關于全等，我這樣導入：

同學們有沒有發現，有的大人的左手和右手不一樣大。你怎樣證明，你的左手跟右手是一樣大的？或者不一樣大？

這時候，大多數孩子會下意識地雙手合十，仔細檢視，然後踴躍反饋自己的發明與發現。

這時候，我會趁熱打鐵，贊歎孩子們獨立發現、重新發現了《幾何原本》第四公理——彼此重合（的東西）彼此相等。并讓孩子們寫下來，貼到家裡書房的牆上。

對于孩子，先是從生活到數學，後是從數學到生活。我們需要去挖掘植根于肌肉記憶的第四公理這樣的橋梁，連接起生活與數學。

（一）

關于旋轉的語言，孩子們沒接觸過角度，我就用鐘點來表達。例如，從12點走到3點，用以表達順時針旋轉90度。

旋轉與翻轉植根于肌肉記憶。平移或許處于更底層。旋轉并且平移呈現為滾動，那麼，旋轉中心是禁止平移的，是不動的。同理，翻轉中軸也是禁止平移的，是不動的。動手操作更能體會。

若一個拼塊，經過一次旋轉變換，從起點出發又回到起點，終點與起點彼此重合彼此相等，我們就說該拼塊構成一種旋轉對稱。

例如，平行四邊形拼塊有兩種旋轉對稱，從3點鐘旋轉到9點鐘，彼此重合彼此相等；再從9點鐘旋轉到3點鐘彼此重合彼此相等。

正方形拼塊有四種旋轉對稱。自己去發現。

更深層次的問題來了，三角形拼塊自身是否具備旋轉對稱？我答不上來，但能提問題，或許蘊含着思考者超越的契機。

若一個拼塊，經過一次翻轉變換，從起點出發又回到起點，終點與起點彼此重合彼此相等，我們就說該拼塊構成一種翻轉對稱。

在對折的意義上，三角形拼圖構成一種翻轉對稱，對稱軸隻有一條。正方形拼圖具備四種翻轉對稱，對稱軸有四條。

我的疑惑是，三角形拼塊，從正面翻轉到反面，彼此重合彼此相等；再從反面翻轉到正面，彼此重合彼此相等，是不是意味着它具備兩種翻轉對稱呢？

（二）

我總是驚歎于小孩子很自然地用箭線圖表達他/她對于狀态及狀态變遷的認知，不要人教都會。跟肌肉記憶類似，像是與生俱來的。反過來看，狀态及狀态變遷，若不用箭線圖表示，還能用什麼表示呢？

2020年2月12日，六歲多點的小煩（馬伯庸）跟媽媽學煮飯。步驟記不住，媽媽讓他自己畫個圖，他就畫了下圖。他父母也沒教過他。

2021年12月10日的七巧闆社團課，二年級謝芷菡同學記不住七巧連方的四組變形，她自己畫出下圖，依圖變形。

兩個靜态的拼圖結構之間存在什麼樣的關系呢？或者說，我們需要什麼樣的靈活的結構，把靜态結構進行動态連接呢？

最普适的，是用箭線圖表示。箭尾出發點表示變遷前的狀态，箭頭射向的點表示變遷後的狀态。整個箭線圖表示狀态及其變遷。

（三）

上文中曾提及：若一個拼塊，經過一次翻轉變換，從起點出發又回到起點，終點與起點彼此重合彼此相等，我們就說該拼塊構成一種翻轉對稱。

我們可以表示成這樣的箭線圖：

至此，我們來嘗試理解下圖：

隻要孩子們喜歡，把箭線圖中的點替換成小豬。上圖中的那隻小豬既是變換的起點，又是變換的終點，表明它從自身出發，變來變去，又回到自身。上圖中，小豬有三種變換都可以變回自身。

基于這種關系圖式，我們可以用這種最普适的語言去表達出更多比較複雜的關系：

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