2021-4-23是個特殊的日子。世界讀書日遇上了中國海軍建軍節。祝中國人民海軍72歲生日快樂！

在這一天，收到了網購的《數學雜談》(張景中院士獻給數學愛好者的禮物)，迫不及待的開卷有益，果然受益匪淺。

分享一下書中的一個精彩段落：巧分生日蛋糕。

一塊正方形的生日蛋糕(嚴格地說，是正四棱柱形的。由于這柱體的高相對較小，通常人們把它叫做方形蛋糕)，表面上塗有一層美味的奶油，要均勻地分給5個孩子，應當怎麼切呢?

困難在于，不但要把它的體積分成5等份，同時要把表面積也分成5等份！

要是4個人分、8個人分就好了。不然，要是圓形的蛋糕，也就好了。偏偏是方形蛋糕5個人來分！

且慢抱怨！冷靜地想一下，你會意外地發現，“方形”和“5人來分”這兩個條件，并沒有給你增加什麼困難，解答是令人驚奇地平凡而簡單：隻要找出正方形的中心O，再把正方形的周界任意5 等分；設分點為A，B，C，D，E，作線段OA，OB，OC，OD，OE， 沿這些線段向着柱體的底垂直下刀，把它分成5個柱體便可以了。如圖1-18，便是一種分法。(我們在圖中标出了方形各邊的5等分點，這就易于看出A，B，C，D，E是周界的5等分點了。)

要證明這種分法的正确性，隻要用一下三角形面積公式和柱體體積公式就夠了。由于中心O到4邊距離相等，所以圖中用虛線劃分的小三角形都是等底等高的！剩下的，就是用人人皆知的公式，通過具體計算驗證各塊的體積相等，并且所附帶的奶油面積也相等罷了。

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圖1-18

這件事提醒我們：面對貌似困難的題目不要緊張，冷靜下來，用你學過的基本知識去分析它，往往會發現它其實并不難。

讓我們進一步想想：如果蛋糕是正三角形，或者是正六邊形、正n邊形，而且是m個人來分呢?你一定會毫不猶豫地回答：分法是一樣的！

如果蛋糕是任意三角形的呢?也許你不那麼有把握了吧！想一想：剛才能成功的關鍵是什麼?是“方形中心到各邊等距”。那麼，三角形内有沒有到各邊等距的點呢?有，内切圓心就是！分法找到了：把三角形的周界分成5等分，把分點A，B，C，D，E分别和内心O連起來，沿這5條線段下刀就是。

但是，你會把任意三角形的周界5等分嗎?這時，圖1-18中先把各邊5等分的辦法顯然不太适用了。你可以先把3邊“拉”成一條線段，分好之後再搬回來。用規尺完成這個作圖是容易的，如圖1-19所示，這裡不再用文字解釋了。

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圖1-19

圖1-19

剛才我們用到了三角形的内心，這會使我們想到：任意的圓外切多邊形也有“内心”，即它的内切圓心O；而O到外切多邊形的各邊也是等距的。這樣一來，所有的圓外切多邊形的蛋糕，都可以按照要求均分成m塊了。方法仍然相同，比如，菱形蛋糕便可以這樣來分。

通常吃的蛋糕的形狀大緻都是柱體的。如果一家食品公司别出心裁，做了一種金字塔形蛋糕，我們能夠把它(連同它的表面積)均分成5塊嗎?

圖1-20

金字塔形，就是正四棱錐形。它的分法仍然和前面的分法雷同。隻要找出錐形的底的周界的5等分點，設分點為A，B，C，D，E ，把它們和錐頂點O連接起來。如圖1-20，設O在錐底的正投影為O′，我們以△OO'A，△OO'B，△OO'C，△OO'D，△OO'E為剖面下刀，便可以滿足要求了。

進一步思考，你會想到：如果棱錐的底面是圓外切多邊形，而且棱錐頂點和底的内切圓圓心連線垂直于底面的話，仍可以依樣畫葫蘆地均分成若幹塊。因為，利用勾股定理和立體幾何裡的“三垂線定理”容易驗證：棱錐各側面三角形的高相等。另外，底面内心仍和底的各邊等距。

回顧一下，我們從開始到現在，一步一步已走得不近了；但每步并不太費力。這樣一小步一小步地向前挪動，可以使你從簡單情況出發，解決相當困難的問題。不信，你可以試問一位愛好數學的朋友：

“怎樣把正四面體形的蛋糕均勻地分成5塊，同時使表面上的奶油也分得均勻?”

十之八九，他會覺得這是個難題。甚至他很難一下子相信你告訴他的解答(如上述)是正确的！但對于你，這個問題已了如指掌了。

但是，這樣的分法并非無往而不勝！如果是一塊長和寬不相等的矩形蛋糕，就會讓我們碰釘子。不過，也不是沒有辦法。設矩形的長為a，寬為b，下面提供的方法可以把它均分成5塊(如圖1-21)。注意，别忘了表面積也要分均勻。

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圖1-21

圖1-21

說明如下：4塊帶“﹡”的部分都是全等的四邊形，因而隻要計算一下中間的六邊形 ABCDEF有關的蛋糕的量。設蛋糕高為h，則：

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恰好符合要求。

最後，試問一下：怎樣把矩形蛋糕均分為7塊,9塊,10塊，m塊?(請參考圖1-21，也有别的方法。)

為什麼說①圓形蛋糕比正方形好分？②為什麼說5個人不好分？

答：①圓形蛋糕隻需要找圓心切成n個扇形，每個扇形圓心角度數相等，就可以分給n個人。圓心角θ=360÷n

②因為5是個充分大的質數，所以不好分。2雖然是質數，但太小了。同理，7個人，11個人，13個人，17個人，19個人都不好分，因為是質數。

8個人好分，正方形有4條對稱軸，像英國國旗米字旗那樣分就可以了。6個人也好分，把正方形水平方向3等分，縱向兩等分，然後緯線方向沿等分點切一刀，經線方向沿等分點切兩刀，就大功告成。合數比質數好分。

總結一下開場故事的方法：把正方形周長5等分，重心連接等分點，即完成正方形的等面積分割。

其實分蛋糕很簡單，還有更簡單的，沒有技術含量的方法。在這裡出現了專家的盲點。我猜想小學生一定不會想不到這個簡單的方法，拿開場故事的題目去考，果然印證了我的想法。

這個方法在美國科普大師馬丁·加德納的著作《啊哈！靈機一動》中也出現過。這本書原著1978年在美國出版，80年代引進國内，有中文版。

下面我們來看看大師著作的幾何剖分難題。請看下圖：

蘭塞姆的第一個問題

巧妙的劃分

蘭塞姆是一個測量員，擅長把奇形怪狀的地皮劃分成一些全等的部分。(旗幟上的文字：天下第一)

一次，請他把這塊地皮劃成四個全等的部分。你想他是如何解決的。

第2個和第3個問題

這是唯一的解法。

蘭塞姆的下一個任務是把這塊地皮分成四個全等的部分。這事有點棘手。

然而，他幾經努力終于找到了答案。

把一個正方形劃分成四個全等的部分，這個問題對于蘭塞姆來說易如反掌。但請他将此劃分成五個全等的部分時，他一時感到為難。

蘭塞姆：我想不出來。一定有一種方法。呣，啊哈！我明白了。

能猜出蘭塞姆有了什麼好主意嗎？

(下圖畫出了蘭塞姆的分法，雖然簡單，但是奇怪的成為專家的盲點)

專家的盲點

(右側中文是胡作玄的評注)

蘭塞姆：真好笑。這種方法可把一個正方形劃分成任意數目的全等的部分。

你可把蘭塞姆的三個問題考考你的朋友，以博一笑。前兩個難題的解是些很奇特的形狀。這些形狀給人以一種微妙的啟示：既然一個正方形無法分成五個正方形，那必定得分成五個特别的形狀。很少有人想到這一顯而易見的解法，令人好生奇怪。順便提一下，把一個正方形分成5個全等的形狀，僅此一種方法。

你把這個難題考過你的朋友之後，還可再給他或她試試與此有關的第四個問題。首先向你的朋友說明怎樣把圖11中的一塊地分成四個全等的部分，再問能否把這塊地分成三個全等的部分。

圖11

你的朋友也許因為題目太難而很快洩氣，曾記否蘭塞姆把一個正方形分成五個等同部分的那種訣竅。你可向你的朋友說明如何運用這種訣竅使問題迎刃而解，他或他将會恍然大悟。圖12為此問題的答案。如前一樣，這方法顯然也适用于把這塊地皮分成任意個等同的部分。

圖12

像切分乳酪問題那樣的難題一樣，上述問題也屬于所謂剖分理論，它是趣味數學中豐富多彩的一個分支。許多平面幾何和立體幾何中的實際問題的求解，可以從中得到有益的啟示。蘭塞姆的前兩個問題特别令人感到興趣，因為每塊地皮是被分成與原先形狀相同的若幹塊。形狀具有這種性質的稱為重複花樣。

圖13

圖13又展示了幾種重複花樣。你能否把每種形狀分成若幹與此形狀相同的部分？顯然，若擁有源源不斷的重複花樣，你便能非周期性地鋪成一個平面。例如，考慮一個蘭塞姆第一次所解的那種 L形重複花樣，四個這樣的L形可組成一個大的L形花樣，四個大L形又可組成一個更大的L形花樣，依次重複下去可鋪成一個無窮大的平面。請注意我們也可按相反方向無限重複下去，把每一個L形分成四個較小的L形，再把這四個L形分成更小的L形，直至無窮小。

關于重複花樣所知甚少。已知的重複花樣也可周期性的鋪成平面，這就是說，在所鋪成的平面中有一種基本圖形，它們以平移面非旋轉或反射的方式組成平面。是否存在一種無法進行周期性鋪面的重複花樣？這是鋪砌理論中一個著名的懸而未決的問題。

圖14

如果被分成的若幹全等圖形并不要求與原先的地皮形狀相同，還可提出許多别的非同一般的問題。例如圖14是一個由五個單位正方形組成的T形。這個T形無法分成四個更小的T形，但你能否将其分成四個某種形狀的全等部分？

圖15.1

甚至把一個平面圖形分成兩個全等部分也可能是困難的。圖15是一些你可能會感興趣的例子，其解請見書末。

圖15.2

在剖分理論中還有一個優美的分支，它涉及把一個已知多邊形分成個數最少的任意形狀的部分，使這些部分能夠重新組成所規定的另一個多邊形。例如，一個正方形最少需分成幾部分以重新組成一個等邊三角形(答案是4)。哈裡·林格倫所著的《幾何剖分趣味問題及其解法》一書極為生動地叙述了這方面的内容。

第三章節和第四章節摘自《啊哈！靈機一動》。作者是馬丁·加德納(1914～2010)，美國著名科普作家。他寫了《啊哈！靈機一動》被譯為法文、德文、俄文、日文等多種外文。中譯本《啊哈！靈機一動》(白英彩、崔良沂譯)于1981年由上海科學技術文獻出版社出版。

胡作玄(評點人)：男，現任中國科學院系統科學研究所研究員。1957年畢業于北京大學。主要研究方向為數學及科學史。著有《20世紀數學思想》、《近代數學史》等專著。譯著有《數學概觀》、《羅素自傳Ⅰ》等。1979～1984年擔任《科學美國人》“數學遊戲”專欄翻譯。

張景中院士是我國著名數學家、計算機專家，曾任中國科普作家協會理事長。他的不講數學理論，隻講數學思想，用日常生活中的淺顯事例，向青少年普及數學的創作手法，是我國數學科普創作的一大飛躍。他的數學科普作品，不同于一般的科普讀物，它不是簡單的材料收集和整理，而是一個站在科學前沿的學者的真知灼見。因此，他寫的科普讀物高屋建瓴，常有畫龍點睛，令人叫絕之筆。多年以來喜歡數學的讀者無不渴望得到他的作品。張景中院士的科普作品是中國數學科普的旗幟，是中國數學科普最高水平的标志。

順便說一下，著名數學家陳省身也期盼得到張景中的作品。

《數學雜談》一書有18萬字，314頁，内容充實，精彩生動，引人入勝。很多章節非常精彩，例如。方格紙上的速算，再生的證明，三角園地的側門，蝴蝶定理的新故事，怎樣用坐标法誘發綜合法，消點法淺談，等等。書中還介紹了其他數學家的成果。

看到圖14時聯想到古典智力玩具：“T字之謎”。又稱為四巧闆，由四塊不同形狀的單元塊組成：一個長直角梯形、一個短直角梯形、一個三角形、一個不規則五邊形。

古典智力玩具

“T字之謎”是一種“少而精”的拼闆，“少”指用的拼闆少，“精”指拼出的圖案很精彩。區區四塊，卻可以拼出上百種有意義的圖案，是老少鹹宜的休閑智力玩具。

新版和舊版圖樣對比

“T字之謎”是在七巧闆的基礎上改進得來的，從出現到完善經曆了一個較長的時間，具體發明者目前尚未考證，或許它是經過許多人不斷改進改善而得來。因此，也可以說是民間智慧的結晶。

你能夠拼接出T字嗎？

順便說一下，蘭塞姆的第一個問題圖案稱為L形，在我國稱為磬折形。

答案請看下圖：

剖分問題的答案

在《啊哈！靈機一動》書中，幾何剖分問題有好幾組，限于篇幅隻摘錄了第二組問題。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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