特殊四邊形的幾何動點問題，很多困難源于問題中的可動點，常見的動點四邊形有平行四邊形、矩形、菱形等問題，其中尤其是動點的存在性問題對很多學生來說感覺很困惑。實際上，求解特殊四邊形的動點問題，關鍵是利用圖解法抓住它運動中的某一瞬間，尋找合理的代數關系式，确定運動變化過程中的數量關系、圖形位置關系，分類畫出符合條件的圖形進行讨論，就能找到解決問題的途徑，有效避免思維混亂。

結合曆年全國各地中考的實例，動态幾何問題一般都會有存在性問題，所謂存在性問題就是根據已知的條件，探索制定适合某個問題的結論的數值、點、直線或其圖形是否存在的題目而存在性問題一般從以下6個方面展開探讨：

1、等腰（邊）三角形存在問題;

2、直角三角形存在問題；

3、平行四邊形存在問題；

4、矩形、菱形、正方形存在問題；

5、全等、相似三角形存在問題；

6、其它存在問題。

在中考中特殊三角形四邊形的存在性問題是重點，其解題思路是：先對結論作出肯定的假設，然後由肯定假設出發，結合已知條件進行正确的計算、推理。若導出矛盾，則否定先前假設；若推出合理的結論，則說明假設正确，由此得出問題的結論。它主要考查考生的觀察、分析、比較、歸納、推理等方面的能力，由于這類題目的綜合性極強。因此中考常以壓軸題出現。

A.最新考題剖析

1．（2019春•吳中區期中）如圖，将一三角闆放在邊長為4cm的正方形ABCD上，并使它的直角頂點P在對角線AC上滑動，直角的一邊始終經過點B，另一邊與射線DC相交于Q．設點P從A向C運動的速度為2cm/s，運動時間為x秒．

探究：

（1）當點Q在邊CD上時，線段PQ與PB之間有怎樣的數量關系？試證明你的猜想：

（2）當點Q在邊CD上且x＝1s時，四邊形PBCQ的面積是_____ ；

（3）當點P在線段AC上滑動時，△PCQ是否可能成為等腰三角形？如果可能，指出所有能使△PCQ成為等腰三角形的點Q的位置，并求出相應的x值；如果不可能，試說明理由．

【解析】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，利用分類讨論思想解決問題是本題的關鍵．

探究：（1）過P點作MN∥BC分别交AB、DC于點M、N，由正方形的性質可得AD∥BC，AB∥CD，∠BAC＝ACB＝45°，可證四邊形ADNM，四邊形BMNC都是矩形，可得BM＝NC，AM＝DN，MN＝AD＝BC，由"ASA"可證Rt△MBP≌Rt△NPQ，可得PQ＝PB；

（2）由四邊形PBCQ的面積＝S四邊形BMNC﹣2S△BPM，分别表示出△PBM與四邊形BMNC的面積就可求解，答案為：（18﹣8√2）cm2；

（3）△PCQ可能成為等腰三角形．

①當點P與點A重合時，點Q與點D重合，∴PQ＝QC，此時，x＝0

②如圖，當點Q在DC的延長線上，且CP＝CQ時，

∵CP＝CQ，∠ACD＝45°，∴∠PQN＝∠CPQ＝22.5°，∴∠QPN＝∠APB＝67.5°，

∵∠ABP＝180°﹣∠BAP﹣∠APB＝67.5°＝∠APB，∴AP＝AB＝4cm

∴x＝4/2＝2s,綜上所述：x＝0s或2s

2．（2019•青島一模）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝4cm，AD＝3cm，動點M，N分别從點D，B同時出發，都以1cm/s的速度運動．點M沿DA向終點A運動，點N沿BC向終點C運動．過點N作NP⊥BC，交AC于點O，連接MP．已知動點運動了ts（0＜t＜3）．

（1）當t為多少時，PM∥AB？

（2）若四邊形CDMP的面積為S，試求S與t的函數關系式．

（3）在運動過程中，是否存在某一時刻t使四邊形CDMP面積與四邊形ABCD面積比為3：8？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由．

（4）在點M，N運動過程中，△MPA能否成為一個等腰三角形？若能，求出所有可能的t值；若不能，試說明理由．

【解析】本題主要考查四邊形的綜合問題，解題的關鍵是掌握矩形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質及分類讨論思想的運用等知識點．

（1）根據已知條件得到PM與PN共直線，求得MN∥AB，列方程即可得到t＝3/2；

3.（2019•江都區一模）如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，點F是點E關于點C的對稱點，過點F作對角線BD的平行線，交DC的延長線于點H，連接HE并延長與矩形的邊AB、對角線BD于點N、M．

（1）試判定△BME的形狀，并說明理由．

（2）若BE＝2EC，連接DE，當△MED為直角三角形時，求AB：BC的值．

【解析】本題主要考查矩形的性質、相似三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質以及三角函數，注意分類讨論思想上的運用．

（1）證明∠MEB＝∠MBE，從而MB＝ME，所以△MBE是等腰三角形；

（2）①當∠DME＝90°時，如圖1，

∵MB＝ME，即∠MEB＝∠MBE，∴∠DBC＝45°．

∴∠DBC＝∠BDC，∴BC＝DC．∴AB：BC＝DC：BC＝1；

②當∠DEM＝90°時，如圖2，過點M作MG⊥BC于G點，

∵∠MEB ∠DEC＝90°，∠DEC ∠EDC＝90°，∠EDC＝∠MEB＝∠MBE．

由（1）得MB＝ME，又MG⊥BC，∴BE＝2GE＝2GB，

又BE＝2EC，∴EG＝EC，則△MGE≌△HCE（ASA），∴ME＝HE．

又DE⊥MH，∴∠MDE＝∠EDC．∴∠DBE＝∠EDC＝∠BDE＝30°．

∴AB：BC＝DC：BC＝tan∠DBC＝tan30°＝√3/3．

綜上所述AB：BC＝1或√3/3．

4．（2019春•杭州期中）在平行四邊ABCD中，AB＝6cm，BC＝acm，P是AC對角線上的一個動點，由A向C運動（不與A，C重合），速度為每秒1cm，Q是CB延長線上一點，與點P以相同的速度由B向CB延長線方向運動（不與B重合），連結PQ交AB于E．

（1）如圖1，若∠ABC＝60°，BC＝AB，求點P運動幾秒後，∠BQE＝30°；

（2）如圖2，在（1）的條件下，作PF⊥AB于F，在運動過程中，線段EF長度是否發生變化，如果不變，求出EF的長；如果變化，請說明理由；

（3）如圖3，當BC≠AB時，平行四邊形的面積是24cm2，那麼在運動中是否存在某一時刻，點P，Q關于點E成中心對稱，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

【解析】（1）設點P運動t秒後，∠BQE＝30°，則AP＝QB＝t，由∠ABC＝60°，BC＝AB，AB＝BC＝AC＝6，∠ACB＝60°，因為∠BQE＝30°，∠ACB＝60°，所以∠QPC＝90°，QC＝2PC，列出關于t的方程解出t的值為2秒；

（2）過點P作PG∥BC，與AB交于點G，通過證明△PEG≌△QEB，得到BE＝GE，再由△APG是等邊三角形得到AF＝GF，∴EF＝1/2AB＝3；

（3）如圖3，設PQ交AB于E，過點P作PG∥BC，與AB交于點G，作CH⊥AB于點H．當點P，Q關于點E成中心對稱時，QE＝PE，

∴易證△PEG≌△QEB（ASA），∴GP＝QB，

∵QB＝AP，∴GP＝AP，

∵GP∥BC，∴CA＝CB＝a

∵平行四邊形的面積是24cm2，AB＝6，

∴AH＝BH＝3，CH＝24÷6＝4，∴由勾股定理可求得AC＝BC＝5即a＝5．

故在運動中存在某一時刻，點P，Q關于點E成中心對稱，此時a的值為5．

5．（2019•臨海市一模）定義：如圖1，點M，N在線段AB上，若以線段AM，MN，NB為邊恰好能組成一個直角三角形，則稱點M，N為線段AB的勾股分割點．

（1）如圖1，M，N為線段AB的勾股分割點，且AM＝4，MN＝3，則NB＝______ ；

（2）如圖2，在▱ABCD中，CD＝21，E為BC中點，F為CD邊上一動點，AE，AF分别交BD于點M，N，當點M，N為線段BD的勾股分割點時，求FD的長；

（3）如圖3，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，延長BA到點M，延長AB到點N，使點A，B恰好是線段MN的勾股分割點（AB＞AM≥BN），過點M，N分别作AC，BC的平行線交于點P．

①PC的長度是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；

②直接寫出△PMN面積的最大值．

【解析】（1）①當AM為最大線段時，由勾股定理求出BN；②當BN為最大線段時，由勾股定理求出 BN＝√7或 5；．

（2）如圖2，設BM＝x，證明△AMD∽△EMB，得DM＝2x，設DN＝a，則MN＝2x﹣a，點M，N為線段BD的勾股分割點時，存在三種情況：根據勾股分割點的定義列方程可得DF的長為7或15；

（3）①PC的長度是定值2，理由是：如圖中，連接PA、PN，将△MPA繞點P逆時針旋轉90°得△PNF，将△PAC繞點P逆時針旋轉90°得△PFE．則∠1＝∠3，∠2＝∠4，

∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝2，∴AB＝2√2，∠CAB＝∠CBA＝45°，

∵AC∥PM，BC∥PN，∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4，∴EF∥BN，∴EF∥BN∥BC，

∵AC＝BC＝EF，∴四邊形EFBC是平行四邊形，∴EC＝BF，

∵∠ANM＝∠PNF＝45°，∴∠BNF＝90°，∴BF2＝BN2 FN2，

∵點A，B恰好是線段MN的勾股分割點（AB＞AM≥BN），

6．（2019•市北區一模）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC＝6cm，BD＝8cm點P從點B出發沿BA方向勻速運動，速度是1cm/s，點Q從點D出發沿DB方向勻速運動，速度是2cm/s，QE∥AB，與BC交于點E，連接PQ．設運動時間為t（s）（0＜t≤4）．

（1）當PQ⊥AB于P時，求t的值；

（2）設四邊形BPQE的面積為y（cm2），求y與t之間的函數關系式；

（3）是否存在某一時刻t，使BQ平分∠PQE？若存在，求t的值；若不存在，請說明理由．

【解析】此題是四邊形綜合題，主要考查了菱形的性質，相似三角形的性質，銳角三角函數，勾股定理，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵．

（1）先利用勾股定理求出AB＝5，再用同角的餘角的餘弦函數建立方程求解即可得出t＝32/13；

B.反思與總結

C.最新考題精煉

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