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判斷級數斂散性的方法

生活更新时间:2025-02-11 09:33:08

判斷級數斂散性的方法?先判斷這是正項級數還是交錯級數；，下面我們就來聊聊關于判斷級數斂散性的方法?接下來我們就一起去了解一下吧!

判斷級數斂散性的方法

先判斷這是正項級數還是交錯級數；

判定正項級數的斂散性：先看當n趨向于無窮大時,級數的通項是否趨向于零（如果不易看出,可跳過這一步）。若不趨于零,則級數發散；若趨于零,則再看級數是否為幾何級數或p級數,因為這兩種級數的斂散性是已知的,如果不是幾何級數或p級數,則用比值判别法或根值判别法進行判别,如果兩判别法均失效,則再用比較判别法或其極限形式進行判别,用比較判别法判别,一般應根據通項特點猜測其斂散性,然後再找出作為比較的級數,常用來作為比較的級數主要有幾何級數和p級數等；

判定交錯級數的斂散性：利用萊布尼茨判别法進行分析判定；利用絕對級數與原級數之間的關系進行判定；一般情況下,若級數發散,級數未必發散；但是如果用比值法或根值法判别出絕對級數發散,則級數必發散；有時可把級數通項拆分成兩個,利用“收斂+發散=發散”“收斂+收斂=收斂”判定；

求幂級數的收斂半徑、收斂區間和收斂域。若級數幂次是按x的自然數順序遞增,則其收斂半徑由或求出,進而可以寫出收斂區間,再考慮區間端點處數項級數的斂散性可得幂級數的收斂域；對于缺項幂級數或x的函數的幂級數,可根據比值判别法求收斂半徑,也可作代換,換成t的幂級數,再求收斂半徑；

求幂級數的和函數與數項級數的和：求幂級數的和函數主要先通過幂級數的代數運算、逐項微分、逐項積分等性質将其化為幾何級數的形式,再求和；求數項級數的和,可利用定義求出部分和,再求極限；或轉化為幂級數的和函數在某點的函數值；

将函數展開為傅裡葉級數時需根據已有公式求出傅裡葉系數,這時可根據函數的奇偶性簡化系數的計算,然後再根據收斂性定理寫出函數與其傅裡葉級數之間的關系。

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