數學平面幾何圖形動點問題-tft每日頭條

數學平面幾何圖形動點問題

生活更新时间:2024-11-23 17:15:41

分享一道非常經典的問題。

題目：如圖，三角形 ABC 是一個直角三角形， ∠A = 90° 。 D 是斜邊 BC 上的一個動點。過點 D 作 AB 和 AC 的垂線，垂足分别為 E 和 F 。問題：當 D 點運動到什麼位置的時候，線段 EF 最短？

數學平面幾何圖形動點問題（幾何趣題分享斜邊上的動點）1

如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。

答案出人意料地簡單：當 AD 垂直于 BC 時，線段 EF 最短。這是因為，四邊形 AEDF 永遠是一個矩形，它的兩條對角線永遠一樣長。因此，為了讓 EF 最短，我們隻需要讓 AD 最短即可。什麼時候 AD 最短呢？顯然，當 AD 垂直于 BC 時， AD 達到最短。

數學平面幾何圖形動點問題（幾何趣題分享斜邊上的動點）2

不是很難吧，是不是沒有過瘾，我們有加強版。

加強版題目：如果去掉 ∠A = 90° 這個條件，其他條件都不變，那麼這一次， D 點應該運動到什麼地方，才能讓 EF 最短呢？

數學平面幾何圖形動點問題（幾何趣題分享斜邊上的動點）3

如果你想思考一下，可以暫停滾屏，思考1分鐘後，再繼續。

答案仍然是，當 AD 垂直于 BC 時 EF 最短，不過原因不太一樣。注意到，由于 ∠AED = ∠AFD = 90° ，因此 A 、 E 、 D 、 F 四點共圓。在這個圓中， EF 所對的圓周角 ∠A 始終不變。因此，為了讓線段 EF 達到最短，我們需要讓整個圓越小越好，換句話說這個圓的直徑越短越好（這也可以由正弦定理 EF / sinA = 2R 迅速看出）。但是， AD 就是這個圓的一條直徑啊！因此，我們需要讓 AD 越短越好。什麼時候 AD 最短呢？顯然，當 AD 垂直于 BC 時， AD 達到最短。

數學平面幾何圖形動點問題（幾何趣題分享斜邊上的動點）4

這個加強版問題來自 1987 年 IMO 候選題，是不是很驚喜？

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