看到角平分線，你能想到哪些知識點？你能想到幾種做輔助線的方法？角平分線最基礎的知識點當然是角平分線的概念，由角平分線可以得到兩個角相等，如果你僅僅想到這邊，那麼說明你并沒有合格地掌握該知識點。最起碼還應該想到角平分線的性質定理和判定定理，并且角平分線的性質定理也是很常見的輔助線之一。

角平分線的性質定理為，角平分線上的點到角兩邊的距離相等，由此我們可以過角平分線上的任意一點作角兩邊的垂線，從而得到垂線段相等。

例題1：已知：如圖，△ABC的角平分線BE、CF相交于點P．求證：點P在∠A的平分線上．

分析：很多題目，會将角平分線的性質定理與角平分線的判定定理結合起來使用。比如本題，已知BE、CF為角平分線，可以借助角平分線的性質定理，過點P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别為D、M、N，根據角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得PD=PM，同理可得PM=PN，從而得到PD=PN，再根據到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上即可證明點P在∠A的平分線上。

證明：如圖，過點P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分别為D、M、N，

∵BE平分∠ABC，點P在BE上，

∴PD=PM，同理，PM=PN，

∴PD=PN，

∴點P在∠A的平分線上．

輔助線二：角平分線 平行線構造等腰三角形

例題2：（1）基本圖形：如圖①，已知OC是∠AOB的角平分線，DE∥OB，分别交OA、OC于點D、E．求證：DE=OD；

（2）在圖②中找出這樣的基本圖形，并利用（1）中的規律解決這個問題：已知△ABC中，兩個内角∠ABC與∠ACB的平分線交于點O，過點O作DE∥BC，交AB、AC于點D、E．求證：DE=BD CE；

分析：通過對圖①的證明，我們可以得到角平分線 平行線構造出等腰三角形這個結論，當OC為∠AOB的平分線時，在射線OC上任取一點，過該點做OA或OB的平行線，都可以得到等腰三角形。利用該結論，我們可以解決一系列的問題。

證明：（1）∵OC平分∠AOB，

∴∠AOC=∠BOC，

∵DE∥OB，

∴∠DEO=∠BOC，

∴∠DEO=AOC，

∴DE=OD；

（2）∵∠ABC和∠ACB的平分線相交于點O，

∴∠DBO=∠OBC，∠ECO=∠BCO，

∵DE∥BC，交AB于點D，交AC于點E．

∴∠DOB=∠DBO，∠COE=∠ECO，

∴BD=DO，OE=CE，

∴DE=BD CE；

遇到角平分線，可以過角平分線上任意一點，做垂線，與兩邊相交，通過三線合一構造等腰三角形。

例題3：已知Rt△ABC，∠BAC=90°，AB=AC，過點B的直線BE交直線AC于D，CE⊥BE于E，當BE平分∠ABC，求證：BD=2CE；

分析：延長CE，BA交于F，根據已知條件得到∠BEF=∠BEC=90°，∠CBE=∠FBE，推出△CBE≌△FBE，由全等三角形的性質得到CE=EF，證得CF=2CE，通過△ABD≌△ACF，得到BD=CF，等量代換得到結論。

輔助線四：角平分線 截長補短法構造全等三角形

例題4：如圖，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，若E在AD上．求證：BC=AB CD

分析：在BC上取點F，使BF=BA，連接EF，可證明△EAB≌△FBE，進而得到∠A=∠BFE，通過AB∥CD可得到∠A ∠D=180°，再加上鄰補角得到∠EFB ∠EFC=180°，等角的補角相等可得∠EFC=∠D，然後證明△EFC≌△EDC，利用全等三角形的性質證明CF=CD即可解決問題。

截長補短法也可與角平分線的概念結合起來考查，構造全等三角形。

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