本文譯自MIT緬因數理學院的艾希禮·瑞特于1995年9月12日發表的論文，可供從事數學研究或者工作中要用到數學的讀者書寫論文時參考。

原文引用的參考文獻為：

【2】 Steenrod, N.E.， "How to write Mathematics", Amer. Math. Soc. 1983, ISBN 0821800558

翻譯：在百度翻譯的基礎上經人工校對修正了一些表述。由于水平有限，譯文不妥在所難免，建議有寫作需求的讀者下載原文進一步閱讀。

一、引言：為何要重視數學論文的寫作？

好的數學寫作，就像好的數學思維一樣，是一項必須實踐和 進步 才能達到最佳表現的技能。本文旨在為年輕數學家撰寫第一篇論文提供幫助，其目的不僅是幫助學生 寫好 一篇論文，而且幫助學生開始思考數學寫作。

我非常感激一本精彩的小冊子《如何寫數學》（即前面介紹的引文【2】——譯者注），它提供了這篇文章的大部分内容。我将 直接引述其中不少内容 ，特别是 引述 保羅·霍爾莫斯（ Paul Halmos ）寫的那一節 。 我懷疑，本文中幾乎所有的想法都來源于我閱讀 的 這本小冊子。它可以從美國數學學會獲得，認真學習數學寫作的學生應該自己查閱這本小冊子。其他大多數想法都源于我對 本人 糟糕的數學寫作的失望。雖然從糟糕的數學寫作中學習數學并不是學習好的寫作的最佳方式，但它可以 有效地 提供 避免犯錯 的 借鑒 。 思維 活躍的數學讀者 應注重 數學 論文 樣本 中那些看起來顯得 不清楚的地方，并避免在自己的寫作中犯同樣的錯誤。

你的結果是否通過對某個事物進行更精确的 特性 描述來強化先前的結果？

你有必要在數學結構中明确地考慮這個 定位 問題，因為在你回答這個問題之前，它會一直萦繞在讀者的腦海中。如果不能解決這個問題，讀者會感到非常不滿意。

除了提供數學邏輯圖來幫助讀者在數學領域内定位您的工作，您還必須幫助他們了解您工作的内部組織：

1. 你的結果集中在一個 突出 的定理裡嗎？
2. 或者你有幾個相關但同樣重要的定理 嗎 ？
3. 你找到重要的反例了嗎？
4. 你的研究是在定理證明的意義上 的 純粹的理論數學，還是你的研究涉及到幾種不同類型的 應用？ 例如，在計算機上模拟一個問題，證明一個定理，然後做與你的工作有關的物理實驗？
5. 你的工作是朝着解決一個經典問題邁出了清晰（盡管很小）的一步，還是一個新問題？

因為你的讀者直到讀完你的論文後才知道你要證明什麼，所以應提前告訴他他要讀什麼，這将使他更加享受“閱讀旅行”的樂趣，并了解更多你引導他去做的事情。

要誠實而刻意地解釋你的工作與數學研究的大局相符，可能需要非常謙虛。 你可能會對自己的成就顯得很小而感到失望。 不要煩惱！ 數學已經積累了數千年，是基于數千（或數百萬）從業者的工作。 有人說，即使是最好的數學家，在他們的一生中也很少有超過一個真正傑出的想法。 如果你是高中生的話，那真是太令人驚訝了！

一旦你考慮了研究的結構和相關性，你就準備好概述你的論文了。研究論文的公認格式在數學上的定義比其他許多科學領域要嚴格得多。你有足夠的空間來制定一個特别适合你 論文 的大綱。但是， 論文 幾乎總是包括幾個标準部分：背景、簡介、正文和未來的工作。背景将有助于引導你的讀者，提供你将帶他去哪裡的第一個想法。在背景中，您将給出問題曆史的最明确描述，盡管提示和引用可能 會放在論文的 其他地方。讀者希望在本節中回答一些問題：他為什麼要讀這篇論文？這篇論文的重點是什麼？這個問題是從哪裡來的？這個領域已經知道了什麼？為什麼作者認為這個問題很有趣？例如，如果他不喜歡偏微分方程，就應該提前警告他會遇到它們。如果他不熟悉概率的第一個概念，那麼如果你的論文依賴于這種理解，他應該提前得到警告。請記住，盡管你可能花了幾百個小時來解決你的問題，但你的讀者希望在幾分鐘内把所有這些問題都清楚地回答出來。

在論文的第二部分，導言部分，你将開始引導讀者進入你的工作，特别是從大局到具體結果的放大。 這裡是介紹定義和引理的地方，這些定義和引理是該領域的标準，但是您的讀者可能不知道。

正文由幾個部分組成，包含了你大部分的工作。當你到達最後一節“ 研究意義 ”時，你可能已經厭倦了你的問題，但是這一節對你的讀者來說是至關重要的。作為論文主題的世界專家，您處于一個獨特的環境中，可以指導您所在領域的未來研究。喜歡你論文的讀者可能想繼續在你的領域工作。他 （她） 自然會有她 / 他自己的問題，但你在寫了這篇論文之後，會比你的讀者更清楚哪些問題可能有趣，哪些問題可能 沒 有趣。如果你繼續研究這個話題，你會問什麼問題？此外，對于某些論文，您的工作可能會有重要影響。如果你研究過一個物理現象的數學模型，那麼在物理世界中，你的數學工作的結果是什麼？這些問題是你的讀者希望在論文的最後一節中回答的。你應該注意不要讓他們失望！

三、正式和非正式介紹

一旦你有了論文的基本大綱，你應該考慮“由定義、定理和證明組成的 正式結構 或邏輯結構，以及由動機、類比、例子和數學解釋組成的補充 性 非正式或介紹性材料。在任何數學表達中，都應該明顯地保持材料的這種劃分，因為主題的本質首先要求邏輯結構清晰。”（ p.1 ）這兩種類型的材料并行 出現 ，以使讀者能夠從邏輯和認知兩方面理解你的工作（這通常是非常不同的 —— 你們中有多少人認為在證明微積分的基本定理之前，積分可以用反導數來計算？ ）。 由于正式結構不依賴于非正式結構，作者可以在添加任何非正式結構之前，詳細地寫下前者。

因此，寫作過程的下一個階段可能是制定論文邏輯結構的大綱。 問 有幾個問題可能會有所幫助：首先，你到底證明了什麼？這些定理所依據的引理是什麼（你自己的或他人的）。這些定理的推論是什麼？在決定哪些結果稱為引理、哪些定理和哪些推論時，問問自己哪些是中心思想。哪一個是自然地從别人那裡來的，哪一個是真正的 貢獻 ？寫作的結構要求你的假設和推論必須符合線性順序 （即由簡單到複雜的順序）。對于這種線性結構， 引理 的 複雜 程度越來越高 ，一個接一個，直到一個定理被證明，随後是一系列越來越複雜的推論。然而，很少有研究論文真正具有 這樣的 線性結構 ，而是反過來，看起來就像 複雜的圖 形 ，其中幾個基本假設以複雜的方式與一些衆所周知的定理相結合 ， 可能有幾個看似獨立的推理路線 會 在最後一步 聚集 。 事實上， 任何斷言都應該 從 它所依賴的引理和定理 得出。 可能有許多滿足這一要求的線性 順序 。鑒于這一困難，你有責任首先 自己 理解這一結構，其次，安排你寫作的必然線性結構，以盡可能反映 你論文的 結構。當然，這一 寫作 的确切方式取決于具體情況。

幫助您揭示論文複雜邏輯結構的一種方法是正确地命名結果。通過适當地命名你的結果（引理作為基礎，定理作為 核心結果 ，推論作為 收尾 工作），你将在你的引理中創造出某種平行感，幫助你的讀者欣賞 和快速遊覽哪些是你 關鍵的想法， 而不能讓讀者 費勁地 好像 與你進行 一起 研究 一樣 。

另一種 發展 簡明邏輯大綱的 方式 來源于《如何寫數學》的 作者 保羅·霍爾莫斯（ Paul Halmos ）的警告 ： 從不重複 證明。

如果定理 2 證明中的幾個步驟與定理 1 證明中的某些部分非常相似，那麼這是一個 信号 ，表明某些東西可能沒有被完全理解。同一 毛病 的其他症狀是：“使用與定理 1 的證明中相同的技術（或方法、裝置或技巧）”，或 冒失 地 使用 “參見定理 1 的證明”。當這種情況發生時，很有可能 值得構造 一個 可公式化和可證明的 引理，從這個引理可以更容易、更清楚地推導出定理 1 和定理 2 。（第 35 頁）

在你開始寫論文之前，這些結構問題應該經過深思熟慮，盡管寫作本身的過程确實有助于你更好地理解結構。

我們已經讨論 完 了 正式 結構， 現在 我們就轉向非正式結構。

正式 結構包含 正式 定義、定理證明格式和嚴謹的邏輯，這是“純”數學的語言。非正式結構是正式結構的補充。它使用不那麼嚴格（但也同樣準确） 的 語言，在闡明 作品 的數學位置和更具認知性的呈現中起着重要的作用。因為盡管數學家用邏輯語言寫作，但實際上很少有人用邏輯語言思考 ( 盡管我們确實用邏輯思維 ) ，因此為了理解你的工作，他們将會極大地受益于對為什麼某事是真的以及你是如何證明這樣一個定理的微妙 論證 。在你寫作之前，在這些非正式的章節中概述你希望交流的内容，很可能會 讓 交流 更有效 。

在開始寫之前，您還必須考慮 數學 符号。符号的選擇是撰寫研究論文的關鍵部分。實際上，你正在發明一種你的讀者為了理解你的論文必須學習的語言。好的符号首先讓讀者忘記他正在學習一種新的語言，其次提供了一個框架，在這個框架中，你的證明的要點被清楚地理解了。另一方面，糟糕的注釋是災難性的，可能會阻止讀者閱讀你的論文。在大多數情況下，遵循慣例是明智的。 例如，不要 對函數使用 x （ f ）， 而應該按慣例使用 f(x) 。

四、證明

寫一個好的證明的第一步是對定理的陳述。一個措辭得當的定理會使寫證明變得容易得多。定理的陳述首先應該包含正确的假設。當然，必須包括所有必要的假設。另一方面， 應盡可能濾除 無關的假設 ，因為無關假設 隻會 讓讀者分散注意力，無法将注意力集中在你 定理 要表達的 觀點 上。

當你寫 證明 的時候，就像寫整篇論文一樣，你必須以線性的順序，寫下一組假設和推論，這些假設和推論在形式上可能不是線性的。我建議，在你寫作之前，你先把假設和推論拟訂出來，并試圖以一種對讀者造成最少混亂的方式對陳述進行排序。

在《如何寫數學》中，哈爾莫斯（ Halmos ）提供了幾個關于編寫證明的重要建議：

1. 用正向證明方法，而不是逆向證明方法。逆向證明 的優點是容易被機器驗證 ，但不适合 被人理解 。正向證明 的安排是可以理解和記憶的。（第 43 頁）

2. 避免不必要的符号。 考慮 由等号分 開 的一長串表達式組成的證明。這樣的 證明 很容易寫。作者從第一個方程開始，進行自然替換得到第二個方程， 合并同類項 、 置換 、插入并 去掉 一個 中間 因子，然後通過這些步驟進行，直到他得到最後一個方程。這 種證明 又是一次編碼，讀者不僅被迫一邊學習 ，還 一邊去解碼。 這種讓負擔翻倍的做法是不必要的。應多 花 10 分鐘寫一 個文字性 段落， 用以介紹證明過程 的秘訣，取代那些隻報告結果 和需要讀者猜測 的無用 過程。 這段話 可以 是這樣的：“作為證 明 ，首先用 P 代替 Q ，然後 合并同類項 ， 置換 因子，最後插入并取消 一個 因子 R 。”（第 42-43 頁）

五、具體建議

在任何形式的交流中，都有一定的文體 習慣 ，這會使你的寫作或多或少地被理解。寫完初稿後，最好對這些内容進行檢查和更正。 我 這些想法中的許多來自《如何寫數學》，并且在那裡更充分地證明了其合理性。

前面已定義的符号在連續 幾頁甚至幾段中 如果 沒有 被 使用 ，再次出現時應交代在前面哪裡定義了或者重新提示其意義。

論文的 結構應 做到 很容易地通過 你的 标題和标點 符号 來識别。

在整個 論文 中，應該對 所涉及 的問題有一個清晰的定義。

論文标題 是讀者接觸你的論文 的第一個要素 。它必須向你所在領域的專家以及感興趣的新手傳達某種 信息 。因此，術語在技術上 必須 是正确的 。

不要過度使用标點符号，如句點或逗号。它們很容易被讀者 看漏 ，并且 這樣的漏讀 會導緻回溯、混亂 和耽擱 。 不要以符号 作為句子的 開頭。如果你堅持在句子開頭提到符号所表示的東西，那麼 在符号之前加上 适當的 術語 ， 例如， “集合 x 屬于 C 類，…” 而不是 “ x 屬于 C 類， …” 。對于 逗号 也是如此 。 不要使用 “對于可逆 x ， x* 也是可逆的”，而 要使用 “對于可逆 x ，伴随 x* 也是可逆的。”（第 44 頁）

在所有的數學上下文中，我推薦 “如果”（ “ if ” ）與“那麼”（ “ then ” ）連起來使用，因為 “ 那麼 ”的存在永遠不會 引起 混淆。

另一個關鍵特性是頁面的布局或架構。 “ 如果它看起來像純樸的 白話文 ，它會令人生畏 且顯得呆闆 ；如果它看起來像計算散列 充滿數學 符号， 則會顯得 可怕 和 複雜。中庸之道是黃金。把它拆開，但不要太小；用 白話文 ，但不要太多。穿插足夠多的展示，給眼睛一個幫助大腦的機會；使用符号，但在足夠多的 白話文 中間，以防止大腦淹沒在一堆後綴之中。”（第 44-5 頁）

同一符号不能用于多個事物；如果在一個證明中使用 n 作為計數，則在下一個證明中使用 m ，除非這兩個符号在每一個證明中都起着相似的作用。

所有符号都應該有意義（沒有自由變量）：“避免使用不 必要 的符号。例 如 “在緊湊空間上，每個實值連續函數 f 都是有界的” ，這裡 符号“ f ”對該語句的清晰度 沒有任何 貢獻。（第 41 頁）

在日常英語中，“ any ”是一個模棱兩可的 單詞。到底是指一個限定的量詞（如 "if anyone can do it, he can") ）還是指一個通用的量詞（如 "any number can play" ）， 取決于 上下文。因此， 不要在數學寫作中使用“ any ”。用“ each ”或“ every ”替換，或改寫整個句子（第 38 頁）

不要事後定義，例如，不要使用 “ 如果 n 足夠大，那麼 an<e ，其中 e 是預先指定的 正數 ” 。不要使用 “等價” ，因為定理的“等價”是 邏輯上的廢話。 這裡所說的“定 理”是指一個數學真理，一個已經被證明的東西。一個有意義的陳述可能是錯誤的，但一個定理不能。至于“如果……那麼……如果……那麼”，這隻是一個 寫作快手 和 慢速 讀者常犯的文體錯誤。 例如，“ 如果 P ，那麼 Q ，那麼 R ”雖然在 邏輯 過意得去 ，但從心理上來說 可能把讀者絆住 。 如果依據本身意義要求，改成 “如果 P 和 Q ，那麼 R ”或者“在 P 的存在下，假設 Q 則 意味着結論 R ” 會更清晰 。

用反例 來 說明定理條件的必要性。 正确使用詞語：區分功能和價值。

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