整個數學發展史一共誕生了三次數學史，可謂是環環相扣，畢達哥拉斯學派的希帕索斯發現了無理數，直接對一切數均可表成整數或整數之比的思想觀念造成了沖擊，在長達 2000 年的時間裡，數學家都刻意回避無理數存在的事實。

而牛頓在創造微積分的時候，則引發了第二次數學危機，牛頓對于導數的定義并不太嚴密，比如說 x2 的導數,先将 x 取一個不為0的增量 Δx ,由 (x Δx)^2 - x^2 ,得到 2xΔx (Δx) ^2,後再被 Δx 除,得到 2x Δx ,最後突然令 Δx = 0 ,求得導數為 2x 。我們知道這個結果是正确的，但是推導過程确實存在着明顯的偷換假設的錯誤：在論證的前一部分假設Δx是不為0的，而在論證的後一部分又被取為0。那麼到底是不是0呢？

除此之外，牛頓微積分把“無窮小量看作不為零的有限量而從等式兩端消去，而有時卻又令無窮小量為零而忽略不計”的漏洞引發了一個這樣的問題：就無窮小量在當時實際應用而言,它必須既是0,又不是0.但從形式邏輯而言,這無疑是一個矛盾。牛頓後來也未能自圓其說。

兩大數學危機的實質其實都是因為實數體系的不完善所導緻的。所以魏爾斯特拉斯等人發起了“分析算術化”運動。

魏爾斯特拉斯認為實數是全部分析的本源。要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。為此最可靠的辦法是按照嚴密的推理将實數歸結為整數(有理數)。這樣，分析的所有概念便可由整數導出，使以往的漏洞和缺陷都能得以填補。這就是所謂“分析算術化”綱領。

在魏爾斯特拉斯“分析算術化”運動的引領下，戴德金、康托爾包括魏爾斯特拉斯都提出了自己的實數理論。

1872年，德國數學家戴德金從連續性的要求出發，用有理數的“分割”來定義無理數，并把實數理論建立在嚴格的科學基礎上，他将一切有理數的集合劃分為兩個非空且不相交的子集A和A'，使得集合A中的每一個元素小于集合A'中的每一個元素。集合A稱為劃分的下組，集合A'稱為劃分的上組，并将這種劃分記成A|A'。戴德金把這個劃分定義為有理數的一個分割，在這裡面，戴德金從有理數擴展到實數，建立起無理數理論及連續性的純算術的定義。

戴德金分割定理推算過程

康托爾也通過有理數序列理論完成了同一目标，康托爾和戴德金都是将實數定義為有理數的某些類型的“集合”。戴德金方法可以稱為序完備化方法，康托爾方法可以稱為度量完備化方法。這些方法在近現代數學中都已成為典型的構造方法，被後人不斷推廣發展成為數學理論中的有力工具。

康托爾的有理數序列理論

維爾斯特拉斯發表了有界單調序列理論，有理數基本列是先假定實數的完備性，再根據有理數列的極限來定義有理數無理數。有很多有理數列，他們自己是基本列，但在有理數系内沒有極限，所以有了定義：如果一基本列收斂到有理數時，則稱它為有理基本列；如果一基本列不收斂到任何有理數或者收斂空了時，則稱它為無理基本列。有理基本列定義的是有理數，無理基本列定義的是無理數。

有界單調序列理論求證過程

實數的這三大派理論證明了實數系的完備性。實數的定義及其完備性的确立标志着由魏爾斯特拉斯倡導的分析算術化運動大緻宣告完成。這樣長期以來圍繞着實數概念的邏輯循環得以徹底消除，實數體系的建立也标志着代數徹底擺脫幾何的陰霾。

因為實數體系的建立，數學界甚至整個科學界籠罩在一片喜悅祥和的氣氛之中，科學家們普遍認為，數學的系統性和嚴密性已經達到，科學大廈已經基本建成，然而這話卻卻最終慘遭打臉。

魏爾斯特拉斯“分析算術化”運動雖然一次性地解決了數學史兩大危機，但是卻也引發了第三次數學危機，這場數學危機持續至今，讓整個數學大廈岌岌可危。

在此次運動中，1873年11月29日康托爾在給戴德金的一封信中表示，終于把導緻集合論産生的問題明确地提了出來：正整數的集合（n）與實數的集合（x）之間能否把它們一一對應起來。同年12月7日，康托爾寫信給戴德金，說他已能成功地證明實數的“集體”是不可數的，也就是不能同正整數的“集體”一一對應起來。這一天應該看成是集合論的誕生日。

簡單的集合知識

康托爾創立的集合論可以說是數學的一個基本的分支學科，研究對象是一般集合。集合論在數學中占有一個獨特的地位，它的基本概念已滲透到數學的所有領域。集合論或集論是研究集合 （由一堆抽象物件構成的整體）的數學理論，包含了集合、元素和成員關系等最基本的數學概念。簡單的集合知識我們在高中的時候就已經接觸，大家可以簡單回憶一下。

集合論是從一個物件o和集合A之間的二元關系開始：若o是A的元素，可表示為o ∈ A。由于集合也是一個物件，因此上述關系也可以用在集合和集合的關系。另外一種二個集合之間的關系，稱為包含關系。若集合A中的所有元素都是集合B中的元素，則稱集合A為B的子集，符号為A ⊆ B。例如{1,2} 是{1,2,3} 的子集，但{1,4} 就不是{1,2,3} 的子集。依照定義，任一個集合也是本身的子集，不考慮本身的子集稱為真子集。集合A為集合B的真子集當且僅當集合A為集合B的子集，且集合B不是集合A的子集。

數的算術中有許多一元及二元運算，集合論也有許多針對集合的一元及二元運算。

而集合論中元素也有三大特性：确定性、互異性、無序性。首先集合中的元素必須是确定的，例如{我們公司帥的男生}這就不是一個集合,因為帥的定義不同,有些人認為威猛是帥，有些人認為柔弱是帥，所以元素不确定；集合中的元素必須是互不相同的 ，例如{5,6}是一個集合,但是不能表示為{5,6,5}，這就是互異性；{1,2,4}和{4,2,1}是同一個集合，這就是集合的無序性，因為集合中的元素是不存在順序的。

康托爾

數學家們發現，從自然數與康托爾集合論出發可建立起整個數學大廈。因而集合論成為現代數學的基石。

1900年國際數學家大會上，法國著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣稱：“……借助集合論概念，我們可以建造整個數學大廈……今天，我們可以說絕對的嚴格性已經達到了……”。這一發現使數學家們為之陶醉。

可惜才過了 3 年，也就是 1903 年的時候，羅素卻發現了集合論存在的問題，羅素是西方罕見的文理兼修的全才，是著名的 英國哲學家、數學家、邏輯學家、曆史學家、文學家。他曾和哥廷根學派的領袖希爾伯特圍繞數學的哲學基礎問題引發了一場“數學是什麼”的論戰。

羅素認為 “數學即邏輯”，而希爾伯特則提出了形式主義的主張，主張數學思維的對象就是數學符号本身。兩個人涉及的論戰就包含了集合論。

羅素從集合元素的三大特性中發現了康托爾集合論中的一個BUG。集合S是由一切不屬于自身的集合所組成。然後羅素問：S是否屬于S呢？根據排中律，一個元素或者屬于某個集合，或者不屬于某個集合。因此，對于一個給定集合，問是否屬于它自己是有意義的。但對這個看似合理的問題的回答卻會陷入兩難境地。如果s屬于S，根據S的定義，s就不屬于S；反之，如果s不屬于S，同樣根據定義，s就屬于S。無論如何都是矛盾的。

而羅素悖論的大白話版本也就是著名的理發師悖論：在某個城市中有一位理發師，他的廣告詞是這樣寫的：“本人的理發技藝十分高超，譽滿全城。我将為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也隻給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！”來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理發師從鏡子裡看見自己的胡子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人”，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬于“給自己刮臉的人”，他就不該給自己刮臉。

這就是數學史赫赫有名的“一個理發師沖進了大廈，把整個大廈搞了個天翻地覆，甚至直接動搖了整個數學大廈的地基。而至今為止，也依然沒有人把這個理發師請出去”事件。

如果是第一次、第二次數學危機僅僅影響的是整個數學大廈的建造問題，那麼第三次數學大廈直接動搖的是整個地基，因為涉及的是數學基礎問題。

因為羅素悖論隻涉及最基本的集合論概念：集合，元素，屬于和概括原則，它的構成十分清楚明白。這個悖論的出現說明以往的 樸素集合論 中包含矛盾，因而以集合論為基礎的整個數學就不能沒有矛盾。這個悖論也同時說明數學中采用的邏輯也不是沒有問題的。數學上的第三次危機使數學界和邏輯學界都感到問題的嚴重性。

由此引發的許多悖論

羅素悖論表明不能無條件承認概括原則，然而概括原則的改變将使集合論大為改觀，因此對整個數學的影響是巨大的。簡單來說，承認無窮集合，承認無窮基數，看起來悖論可以消除，矛盾可以解決，然而數學的确定性卻在一步一步地喪失。這就是問題的矛盾所在。

羅素的問題直接讓許多的數學家的一輩子工作都毀于一旦，德國的著名邏輯學家弗雷格在他的關于集合的基礎理論完稿付印時，收到了羅素關于這一悖論的信。他立刻發現，自己忙了很久得出的一系列結果卻被這條悖論攪得一團糟。他隻能在自己著作的末尾寫道：“一個科學家所碰到的最倒黴的事，莫過于是在他的工作即将完成時卻發現所幹的工作的基礎崩潰了”。這的确讓人倍感無奈，即使我們對于邏輯的數學化建設耗費了如此巨大的精力，我們得出的很多結論仍然不是嚴密的，可能會有漏洞。

當然了，修補工作也在轟轟烈烈地進行，如果要解決這次危機就必須要建立一個一套更加嚴密的解決辦法才能将這些矛盾統一在一起。

最有名的就是策梅洛-弗蘭克爾公理系統。 在1908 年，恩斯特·策梅洛提議了第一個公理化集合論——策梅洛集合論。這個公理化理論不允許構造序數；而多數“普通數學”不使用序數就被不能被開發，序數在多數集合論研究中是根本工具。此外，策梅洛的一個公理涉及“明确性”性質的概念，它的操作性意義是有歧義的。

所以後來通過弗蘭克爾的改進後被稱為策梅洛-弗蘭克爾公理系統。在該公理系統中，由于分類公理：P(x)是x的一個性質，對任意已知集合A，存在一個集合B使得對所有元素x∈B當且僅當x∈A且P(x)；因此{x∣x是一個集合}并不能在該系統中寫成一個集合，由于它并不是任何已知集合的子集 ；并且通過該公理，存在集合A={x∣x是一個集合}在ZF系統中能被證明是矛盾的。

總而言之，就是策梅洛-弗蘭克爾公理系統嚴格規定了一個集合存在的條件（簡單地說，存在一個空集【空集公理】；每個集合存在幂集【幂集公理】；每個集合裡所有的集合取并也形成集合【并集公理】；每個集合的滿足某條件的元素構成子集【子集公理】；一個”定義域“為A的”函數“存在“值域”【替換公理】等），這樣無法定義出悖論中的集合。因此羅素悖論在該系統中被避免了。

但是它并沒有從數學的整個基本結構的有效性問題上解決問題，從而從數學的基礎性上對整個數學大廈進行修補，數學基礎和數理邏輯的許多重要課題還未能從根本上得到解決，所以還存在一定的缺陷，100多年過去了，危機還在持續，數學大廈的地基什麼時候才能被夯實，如今看來，還有很遠的路要走。

不過，第三次數學危機對整個數學界的發展無疑是起到了巨大的推動作用的，促進了數學基礎理論的研究，促進了哥德爾不完全性定理的誕生，也推動了數理邏輯的發展，可以說每次危機的産生就像是一個聚寶盆的誕生，為數學帶來新的内容，新的進展，甚至引起革命性的變革。

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