導讀：

認識零件的尺寸分布，有助于理解公差分析的三種計算方法：極值法、均方根法和蒙特卡洛法背後的邏輯，以及理解後續尺寸管控的必要性。

這是一個零件的尺寸及其公差。

這說明該尺寸的名義值為20.0mm，允許的公差範圍是 /-0.20mm。

零件在大批量生産時，由于材料、模具和工藝等的變異，每一個零件的寸的實際測量值與名義值都不相同，而是在一個範圍内分布，該分布可能呈某種形态。

有的可能工程師會說：我不會去關注尺寸是如何分布的，我隻要求供應商把尺寸做到規格範圍之内就行。

對于單件、小批量生産，這種說法可能沒有問題。每一個零件都做到百分百檢測，隻要尺寸超過公差範圍，就判為不良品；這樣就能确保不會因為尺寸不良而造成産品的功能、外觀和可靠性等出現問題。

但是，對于大批量生産的産品，這就是一個嚴重的問題。因為大批量生産時，要做到百分百檢測，這必将耗費大量的成本，這不是絕大多數的企業能夠承擔的。

因此，必須引入統計學的概念，對于零件實際加工制造的尺寸分布進行研究和管控。在不百分百檢測的情況下，讓産品發生問題的幾率做到最小。

另外，公差分析的計算方法包括極值法、均方根法和蒙特卡洛法，每一種計算方法的邏輯和依據是什麼？适合于什麼場合？有什麼優缺點？後續需要如何去管控尺寸？

這些都與尺寸鍊中的尺寸分布直接相關，學習公差分析必須認識零件的尺寸分布。

如果有人告訴我說：我做了公差分析，但是我不CARE尺寸分布，後續對于尺寸分布也沒有做相應的管控。那麼這樣的公差分析可以說相當于沒有做。

常見的分布形态包括均勻分布、左偏态分布、右偏态分布、雙峰分布和正态分布等。

▲均勻分布

▲左偏态分布

▲右偏态分布

▲雙峰分布

▲正态分布

那麼，零部件大批量生産時，其實際尺寸的分布形态，哪一種才是合理的？

一般認為，零件在大批量生産時，其實際尺寸的分布符合正态分布：尺寸分布圍繞一個中心對稱，越往中心，尺寸分布越多；遠離中心，尺寸分布越少。

▲正态分布

零件尺寸的正态分布是這樣産生的

當零件加工完畢後，為了檢驗零件質量,從一批産品中任取100件檢測,測得它們的實際尺寸如下:

19.90 19.96 19.94 20.02 20.05 19.98 19.99 20.02 20.07 19.95 20.01 20.03 20.04 20.08 20.05 20.03 20.06 20.00 20.11 20.05 20.00 19.99 20.01 19.96 19.98 19.91 20.16 20.03 20.00 19.98 19.97 20.04 19.93 20.06 20.00 20.09 19.94 20.02 20.10 19.97 19.95 19.92 20.05 20.00 19.87 20.03 20.14 19.99 20.05 20.03 20.00 20.03 20.04 20.01 20.13 19.97 19.98 19.84 20.04 20.00 19.96 20.02 19.99 20.06 19.98 19.95 19.91 19.94 20.00 19.96 20.01 19.92 19.98 20.02 20.00 19.93 19.97 20.01 20.09 19.95 20.07 19.94 19.90 19.99 19.96 20.06 19.89 20.00 19.97 19.93 20.00 19.95 20.01 19.97 20.07 19.99 20.02 20.07 19.98 19.99

把以上尺寸按照0.03mm的組距進行分組，并統計落在該區間的頻數、頻率，最後計算出頻率/組距。

根據頻率/組距，可繪制出100個零件尺寸的頻率分布直方圖

▲100個零件尺寸頻率分布直方圖

當200個零件時：

▲200個零件尺寸頻率分布直方圖

當樣本數量無限大時：

▲樣品數量無限大時的直方圖

可以看出,當樣本數量無限大,分組的組距無限縮小時,這個頻率直方圖上面的折線就會無限接近于一條光滑曲線---正态曲線。

輔助閱讀--伽爾頓闆與正态分布

伽爾頓闆是在一塊豎直木闆的上部規則地釘上鐵釘，木闆的下部用豎直隔闆隔成等寬的狹槽，從頂部中央的漏鬥形入口處可以投入小球。

實驗結果發現：投入單個小球，小球與鐵釘碰撞後落入哪個槽中完全是偶然的或者随機的。

當投入很多很多很多小球時，最終落入中間部位槽中的小球總是較多，而落入兩側槽中的小球總是較少。

而小球在凹槽上呈現一個明顯有規律的分布：一條鐘形曲線，這就是正态分布。

▲伽爾頓闆

▲正态分布

平均值

顧名思義，平均值x-為樣本中所有尺寸的平均值。x-的計算公式為：

例如，10個零件的實際尺寸測量值19.90 19.96 19.94 20.02 20.05 19.98 19.99 20.02 20.07 19.95，那麼其平均值為

注：為了簡化，樣本數簡化為10個，實際生産管控時遠大于10個。

x-顯示了實際測量的尺寸平均值與設計值之間的偏移程度，隻影響正态分布曲線的位置，不影響曲線的形狀：

▲x-對正态分布曲線的影響

标準差σ

标準差σ是樣本中各尺寸值偏離平均值距離的平均數。σ的計算公式為：

上例中的σ計算為：

σ顯示制程的穩定性，σ越小，表示尺寸波動越小，加工精度越高。σ隻影響曲線的形狀，不影響曲線的位置：

▲σ-對正态分布曲線的影響

在産品設計時，我們期待的零部件尺寸分布是這樣的：尺寸分布中心就是規格中心（即設計名義值，前提是采用雙向對稱公差标注），産品制程具備6σ能力。

而現實一定是骨感的，但産品實際生産加工後，實際測量的尺寸分布可能是這樣：

1）實際尺寸分布中心遠離規格中心，發生了偏移

▲尺寸分布中心遠離設計名義值，發生了偏移

2）實際尺寸分布中心接近規格中心，但是分布很離散，達不到6σ能力。

▲尺寸分布中心遠離設計名義值，發生了偏移

這給我們的啟示是什麼？

在公差分析時，所有公差設定都是一種假設和期望，公差分析的結果滿足功能、外觀、可靠性和可裝配性等要求，并一定表示最後産品實際生産之後也滿足；因為現實與期望一定是不一緻的。

必須對公差分析中的零件尺寸進行制程管控，确保實際生産時的尺寸分布與公差分析時假設和期望的尺寸分布吻合時，我們才能保證後續實際生産的産品滿足功能、外觀、可靠性和可裝配性等要求。

公差分析如果僅僅是計算，這很簡單。

要搞清楚計算背後的邏輯，卻不是一簡單的事情；但又是必須花精力去弄明白。否則，僅僅是會計算公差，這完全沒有任何價值。

在後續的文章中，我會介紹三種公差分析的計算方法（極值法、均方根法和蒙特卡洛法），到時候大家會明白為什麼我花了這麼多精力來寫尺寸分布，敬請關注。

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關于正态分布、SPC和6sigma等，以上僅僅是簡單介紹，如需了解更多，請關注頭條号并回複“正态分布”直接獲取下載鍊接。

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作者簡介：鐘元，著有書籍《面向成本的産品設計：降本設計之道》和《面向制造和裝配的産品設計指南》

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