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從數軸上看|a|表示數a的點到原點的距離；|a-b|表示數a、數b的兩點之間的距離。

|a-b| 的幾何意義就是數軸上數a、數b的兩點之間的距離。

|x-a1| |x-a2| 就表示數x的點到數a1、a2兩點的距離和，當a1≤x≤a2時，距離和最小且為a1、a2兩點之間的距離|a1-a2|。

|x-a1| |x-a2| |x-a3| 就表示數x的點到數a1、a2、a3三點的距離和，當x=a2時，距離和最小且為a1、a3兩點之間的距離|a1-a3|。

以此類推，求數x在到偶數個點的距離和，x在最中間兩個點之間時，距離和最小；求數x在到奇數個點的距離和，x與最中間一個點重合時，距離和最小。

例1. 點A、B在數軸上分别表示有理數a、b，點A與原點O兩點之間的距離表示為AO，則AO＝|a-0|＝|a|，類似地，點B與原點O兩點之間的距離表示為BO，則BO＝|b|，點A與點B兩點之間的距離表示為AB＝|a-b|.

請結合數軸，思考并回答以下問題：

（1）①數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是________；

②數軸上表示m和－1的兩點之間的距離是________；

③數軸上表示m和－1的兩點之間的距離是3，則有理數m是________；

（2）若x表示一個有理數，并且x比－3大，x比1小，則|x-1| |x 3|=________

（3）求滿足|x-2| |x 4|=6的所有整數x的和________.

【分析】

（1）根據數軸上的點确定兩點之間的距離，根據絕對值的性質得出結果并總結規律；

（2）在（1）中規律的基礎上得出符合條件的值；

（3）結合數軸和點在數軸上的特征得出符合條件的x的值，計算和即可.

【解答】

解：⑴①數軸上表示1和－3的兩點之間的距離是|1-（-3）|=4；

②數軸上表示m和－1的兩點之間的距離是|m-（-1）|=|m 1|；

③根據題意，得|m-（-1）|=3，即|m 1|=3，解得m=2或-4；

⑵由x比－3大，x比1小，則|x-1| |x 3|表示在1和-3之間的一點，到1的距離與到-3的距離的和，即等于1到-3的距離4；

⑶把問題轉換為求x到點2和點-4的距離之和等于6的點，則x大于等于-4，且小于等于2，故x可以取-4，-3，-2，-1，0，1，2，共7個。

這7個數的和為（-4） （-3） （-2） （-1） 0 1 2=-7.

1. 數軸上從左到右的三個點 A ，B ，C 所對應的數分别為 a ，b ，c ．其中AB=2017，BC=1000，如圖所示．

（1）若以B為原點，寫出點A，C所對應的數，并計算a＋b＋c 的值．

（2）若原點 O 在 A，B 兩點之間，求 |a| |b| |b-c| 的值．

（3）若O是原點，且OB=17，求a b－c的值．

2. 同學們，我們都知道：|5-2|表示5與2的差的絕對值，實際上也可理解為5與2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離；|5 2|表示5與-2的差的絕對值，實際上也可理解為5與-2兩數在數軸上所對應的兩點之間的距離，試探索：

（1）|﹣4 6|=________；|﹣2﹣4|=________；

（2）找出所有符合條件的整數x，使|x 2| |x-1|=3成立；

（3）若數軸上表示數a的點位于﹣4與6之間，求|a 4| |a﹣6|的值；

（4）當a=________時，|a﹣1| |a 5| |a﹣4|的值最小，最小值是________；

（5）當a=________時，|a﹣1| |a 2| |a﹣3| |a 4| |a﹣5| … |a 2n| |a﹣(2n 1)|的值最小，最小值是________.

1. 【答案】

（1）解：以B為原點,點A,C對應的數分别-2017,1000

a b c=-2017 0 1000=-1017

（2）解：當原點O在A,B兩點之間時, |a| |b| =2017,|b-c|=1000

|a| |b| |b-c|=2017 1000=3017

附另一解法：點A,B,C對應的數分别b-2017,b,b 1000

|a| |b| |b-c|=2017-b b 1003017

（3）解：若原點O在點B的左邊,則點A,B,C所對應數分别是a=-2000，b=17，c=1017

則a b-c=-2000 17-1017=-3000

若原點O在點B的右邊,則點A,B,C所對應數分别是a=-2034，b=-17，c=983

則a b-c=-2034 (-17)-983=-3034

2. 【答案】

（1）2；6

（2）解：此題可以理解為數軸上一點到-2,1的距離的和是3，由于1到-2 的距離就是3,，故當-2≤x≤1的時候即可滿足條件，又因為x是整數，所以x的值可以為：-2，-1,0,1.

（3）解：∵數軸上表示數a的點位于﹣4與6之間，∴a 4＞0，a﹣6＜0，∴|a 4| |a﹣6|=a 4-a 6=10;

（4）1；9

（5）1；n(2n 3)

【分析】

（1）由于絕對值符号具有括号的作用，先按有理數的加減法法則算出絕對值符号裡面的，再根據絕對值的意義去掉絕對值符号即可；|﹣4 6|=|2|=2，|﹣2﹣4|=|-6|=6；

（2）此題可以理解為數軸上一點到-2,1的距離的和是3，由于1到-2 的距離就是3,，從而找出1到-2 的整數即可；

（3）根據有理數的加減法法則，首先判斷出a 4＞0，a﹣6＜0，再根據絕對值的意義去掉絕對值符号合并同類項即可；

（4）此題可以理解為數軸上一點到1，-5,4的距離的和最小，根據兩點之間線段最短，故當a表示的數是介于4和-5之間的數1的時候，即可使其值最小，然後将a=1代入再根據絕對值的意義化簡即可；

當a=1的時候，|a﹣1| |a 5| |a﹣4|=|1﹣1| |1 5| |1﹣4|=9；

（5）根據（4）的規律，此題可以理解為數軸上一點到1，-2,3，-4…-2n,(2n 1)的距離和最小，根據兩點之間線段最短，故當a=1的時候，其值最小。當a=1的時候，

|a﹣1| |a 2| |a﹣3| |a 4| |a﹣5| … |a 2n| |a﹣(2n 1)|

=|1-1| |1 2| |1-3| |1 4| |1-5| … |1 2n| |1-(2n 1)|

=0 3 2 5 4 … |2n 1| |2n|

=2 3 4 5 … 2n (2n 1)

=n(2n 3)

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