圖1

父：你現在學習到了等差數列求和，現在和你說一下。

女：啥？等差數列求和，沒學呢！

父：你現在做的這個題目就是啊！

女：哦。

父：首先說一個數學概念：數列。數列就是一組數，排列在一起，比如“1、2、3……”，這個是什麼？

女：這個我知道，是自然數。

父：對，這個就是自然數列。你能舉個其他的例子嗎？

女：嗯，我想想。比如：2、4、6、8……，這個是偶數。

父：很好，這個是偶數列。數列裡面有一個個的數字，我們把它叫做“項”，然後就有相關的概念，第一項叫首項，最後一項叫做尾項。我們用字母代替數字，就有一個數列的一般表達方式,a1、a2、a3……an、字母的下标的數字代表“第幾項“。

女：明白，首項就是a1，尾項就是an

父：嗯，那麼我們還回到自然數列來，你還記不記得小時候給你講“1、2、3……100”，高斯小時候的故事。

女：嗯，記得。别的小朋友是一個一個地加，高斯用1 100，2 99，……，一共50組數，所以答案是5050.

圖2

父：不錯，你還記得。但是這是高斯的方法啊，不是你自己的方法。

女：那還有更快，更好的方法嗎？

父：嗯，應該說你自己思考，會有更有意思的方法。

女：什麼方法？

父：先看到這個題目，你想的是什麼辦法？

女：一個一個的加啊。

父：對，不要小看這種方法，起碼是一個辦法，比沒有辦法強！

女：我懶得算啊！

父：懶可要不得。一個懶字就錯過很多精彩的東西。

女：是嗎？

父：你看啊，我們先考慮第一個思路，從1加到100不管，我們先從1加到10可以不？這樣是不是容易很多了？

女：還是要算啊！1 2=3，3 3=6，6 4=10，10 5=15，15 6=21，21 7=28，28 8=36，36 9=45，45 10=55.

父：嗯，不錯，算得不慢。這樣就是用最基本的方法做的。你有沒有想過，以前我教給你的湊整的方法，比如2 8=10，3 7=10？這樣是不是更容易算些

女：嗯，1 9=10，2 8=10，3 7=10，4 6=10，5，10，40 15=55；口算是好算一些。

父：這個思路能不能用在1 100呢？

女：我試試，1 99=100，2 98=100，……，49 51=100，剩下一個50和100，總共有50個100，答案是5050. 哈哈，比高斯的辦法也不差啊，還容易口算。

父：是吧，這不就是你自己根據已經學過的東西，研究的自己的算法。你看1到10，答案是55. 那麼11到20 與1加到10有什麼關系，相加之和是多少呢？

女：嗯，11到20的每一個數比對應的1到10的每一個數大10，總共10個數字，所以11加到20，應該是100 55=155.

父：嗯，不錯。你還可以用你已經掌握的湊整法計算一下。

女：我試試。11 19=30，12 18=30，13 17=30，14 16=30，剩下15和20，120 35=155；還是剛才的方法好。

父：嗯，你也發現了。這很重要，通過已知的運算結果會大大提高運算效率，這樣你就計算的又快又好。那按照你的想法，21到30，31到40，直到91到100，每一組10個數字相加有什麼規律

女：這個我明白了，後邊一組十個數字之和都比前一組大100

父：那麼如果都對比1到10呢？

女：11到20大100，21到30大200，31到40大300，41到50大400，51到60大500，61到70大600，71到80大700，81到90大800，91到100大900.

父：那你看，每一組都有55，一共有十組，而不一樣就是100，200，……，900.而這又是1加到9，再擴大100倍

女：啊哈，我知道了，55*10=550，1加到9是45，再乘以100，是4500. 550 4500=5050.這樣也能算出來啊。并且這裡面套了一個1 9的方法。讓我想想，這裡面的結構有意思。

父：看，這樣你又研究出了一種新的解法。然後，我們再回到最初想想。2=1 1，3=1 1 1，4=1 1 1 1，以此類推

女：這個沒什麼意義嗎

父：是不是後面的數字都比前面的大1，這個就叫“前後項差相等”，所以簡稱“等差”？

女：是，然後呢？

父：你如果把他們寫下來，如下圖

圖3

女：哦，這樣就是一個三角形，求和就是求三角形的面積，有多少行，多少列？

父：哈哈，對，但是不能簡單的當作是”面積“，你用三角形面積公式計算一下

女：高是10，底也是10，所以底乘高除以2，答案是50.為啥不一樣？少了5。

父：如果用你上邊湊整的辦法，圖形就變成這樣。

圖4

女：對，這樣就補充成一個正方形了，這個正方形有10行，10列，所以總數是100.

父：是的，你也注意到了，紅色部分和黑色部分不是相等的，因此不能直接除以2，紅色部分最大的是9，而不是10. 可以在第9行來看，刨除最後一行就是9*10=90，一半就是45.

女：那能不能直接補充成紅色和黑色一樣呢？

父：當然可以，如圖

圖5

女：哦，這樣就多了一行，變成了11行，所以是11*10=110 一半就是55. 啊哈！這如果用來計算1加到100，就是高斯的做法啊！

父：你明白啦，你原來是隻考慮了數，沒有考慮形狀。這其實是讓你進行”圖形思考“，”可視化思考“，有些方法就會變得顯而易見。你在看看這個圖

圖6

女：哦，我看出來了，這個就是先計算1到10，以後的每組10個數都比前一組大100，多出的部分又組成了100到900的運算.

父：沒錯，關于自然數列求和你就明白了原理和方法,我幫你總結一下：

• 暴力法——不管那麼多，我就悶頭算
• 湊整法——口算經常用到
• 由小到大，分析差别——先算1~10，比較差别
• “高斯法”，首尾相加
• 圖形可視化法

你悉心體會，還有更多的辦法。

女：确實啊，以前沒有想過這麼多。

父：以後勤于思考，不要局限于題目的答案上，不要因現成的方法局限自己的思路。這很重要。而且一些問題深入思考以後，你會發現很有意思。

女：嗯，是有意思，比寫作業有意思。

父：現在我們把這個方法推廣至一般情況，我們把自然數列寫成（1,2,3 ……n),

女：啥叫一般情況？不都算出來了嗎，為啥還推廣。

父：這個是一個極為重要的思想，先做出一個特殊情況的結果，然後不斷把條件放寬，讓這個結果可以在更大範圍有作用。一方面是讓我們手上的武器在處理問題時更強勁，另一方面加深我們對事物規律的認知。自然數列是最簡單的等差數列，我們先把這個方法推廣到任意自然數列求和，然後再推廣到任意等差數列求和。

女：嗯，好像越來越複雜了。

父：我們把n項數列和命名為Sn.嘗試計算一下這個數值。

女：Sn=1 2 3 …… n. 别說，讓我來算下。把這個三角形反過來，兩個湊一個長方形，

邊長分别就是n和(n 1),然後除以2.所以

Sn=n(n 1)/2

父：很漂亮，推導出公式了。這就是高斯方法的代數表達式。你可以驗證一下，從1加到10，從1加到100.

女：哈哈，一般一般。我還是有聰明才智的啦！把n=10帶入，S10=10*11/2=55,

父：正确！你沒發現，如果有了這個公式，你在計算起來快多了？

女：确實，确實。我再算一下1加到100，S100=100*101/2=5050.哈哈，Doublekill!

父：有了這個一般公式，無論多大的數字，你都可以計算了，并且速度非常快。比如說，從1加到1000.

女：我算算，S1000=1000*1001/2=5000500，厲害啦，我的爹！

父：你還可以計算更大的數字，再也不用一個一個算啦。我們再進一步，我想知道51到100的和，怎麼計算？

女：交給我，嗯，通過公式我能算出S100，我也能算出S50，S50~100=S100-S50=100*101/2-50*51/2=50*101-25*51=25*（202-51）=3775

父：不錯，不錯。你已經學會靈活使用這個公式了。向深入思考還有更多有意思的事情……

（未完待續）

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!