銳角三角函數是中學數學的重要内容之一，三角函數最本質的數學問題就是角與線段架起橋梁；而角是圓的主要元素之一．這樣三角函數與圓有了無縫的對接，也使得它們在中考試題中也有了完美的遇見．在一些數學題中，看似與圓毫無關系且用常規的解題方法卻不好甚至無法解決的問題，而通過題中的某些條件構造輔助圓，運用圓的知識進行解答，往往就會使題目簡單化，從而使難題迎刃而解．下面來探析如何巧用輔助圓妙解幾何題．

例1．如圖，∠XOY＝45°，一把直角三角尺△ABC的兩個頂點A、B分别在OX，OY上移動，其中AB＝10，則點O到頂點A的距離的最大值為 ，點O到AB的距離的最大值為_____ ．

【分析】當∠ABO＝90°時，點O到頂點A的距離的最大，則△ABC是等腰直角三角形，據此即可求解；點O到AB的距離的最大值＝10的一半 腰長5的等腰直角三角形底邊上的高，依此列式計算即可求解．

【解答】如圖，作AD⊥OB于D．

∵在Rt△ADO和Rt△ABD中，∠ADO＝∠ADB＝90°，

AD=AO sin∠AOB=AB sin∠ABO，∠AOB＝45°，

∴AB/ sin45° =AO/sin∠ABO，

∴當∠ABO＝90°時，點O到頂點A的距離的最大．則OA＝√2AB＝10√2．

點O到AB的距離的最大值為5 5√2．故答案是：10√2，5 5√2．

【點評】本題主要考查了正弦定理與餘弦定理、等腰直角三角形的性質，正确确定點O到頂點A的距離的最大的條件是解題關鍵．

例2.如圖，在△ABC中，∠B＝75°，∠C＝45°，BC＝6﹣2√3，點P是BC上一動點，PE⊥AB于E，PD⊥AC于D．無論P的位置如何變化，線段DE的最小值為______

【分析】當AP⊥BC時，線段DE的值最小，利用四點共圓的判定可得：A、E、P、D四點共圓，且直徑為AP，得出∠AED＝∠C＝45°，有一公共角，根據兩角對應相等兩三角形相似得△AED∽△ACB，則AE/AC=ED/BC，設AD＝2x，表示出AE和AC的長，求出AE與AC的比，代入比例式中，可求出DE的值．

【解答】當AP⊥BC時，線段DE的值最小，

如圖1，∵PE⊥AB，PD⊥AC，∴∠AEP＝∠ADP＝90°，∴∠AEP ∠ADP＝180°，

∴A、E、P、D四點共圓，且直徑為AP，

在Rt△PDC中，∠C＝45°，∴△PDC是等腰直角三角形，∠APD＝45°，

∴△APD也是等腰直角三角形，∴∠PAD＝45°，

∴∠PED＝∠PAD＝45°，∴∠AED＝45°，∴∠AED＝∠C＝45°，

∵∠EAD＝∠CAB，∴△AED∽△ACB，∴AE/AC=ED/BC，

設AD＝2x，則PD＝DC＝2x，AP＝2√2x，

如圖2，取AP的中點O，連接EO，則AO＝OE＝OP＝√2x，

∵∠EAP＝∠BAC﹣∠PAD＝60°﹣45°＝15°，∴∠EOP＝2∠EAO＝30°，

【點評】本題考查了四點共圓的問題，四點共圓的判定方法有：①将四點連成一個四邊形，若對角互補，那麼這四點共圓．②連接對角線，若這個四邊形的一邊同側的兩個頂角相等，那麼這四點共圓；通過四點共圓可以利用同弧所對的圓周角得出角相等，從而證得三角形相似，得比例式，使問題得以解決．

例3. 已知直線y＝3/4x b與x軸，y軸分别交于A，B兩點，點D在x軸正半軸，且OD＝6，點C，M是線段OD的三等分點（點C在點M的左側）

（1）若直線AB經過點（4，6）

①求直線AB的解析式；

②求點M到直線AB的距離；

（2）若點Q在x軸上方的直線AB上，且∠CQD是銳角，試探究：在直線AB上是否存在符合條件的點Q，使得sin∠CQD＝4/5？若存在，求出b的取值範圍；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）①利用待定系數法即可求得直線AB的解析式；

②根據相似三角形對應邊成比例求得即可．

（2）作CE⊥CD，且CE＝3，因為CD＝4，根據勾股定理得出DE＝5，所以sin∠CED＝4/5，如果AB與x軸上方的優弧相交，交點為Q，根據同弧所對的圓周角相等，則∠CQD＝∠CED，則sin∠CQD＝4/5，當AB經過E點時，點E即為Q點，根據三角形相似求得OB的值為3/2，即可求得b的取值．

【解答】（1）①∵直線AB經過點（4，6），

∴6＝3/4×4 b，則b＝3，∴直線AB的解析式為y＝3/4x 3．

②如圖1，設點M到直線AB的距離為MN，

由直線AB的解析式為y＝3/4x 3可知A（﹣4，0），B（0，3），

∴OA＝4，OB＝3，AB＝5，

∵OD＝6，點C，M是線段OD的三等分點，∴AM＝4 4＝8，

∵∠BAO＝∠MAN，∠AOB＝∠ANM＝90°，∴△AOB∽△ANM，

∴MN/OB=AM/AB，∴MN＝AM··OB/AB=8×3/5=24/5．

（2）存在；在CD的垂直平分線上取點I（4，1.5）

以I為圓心，ID為半徑作圓，則⊙I必過點C，

在Rt△MID中，由勾股定理，得：ID＝2.5，sin∠MID＝MD/ID=4/5，

當直線AB與⊙I相切（切點在第一象限）時，直線AB上存在唯一一個符合條件的點Q（切點），使得sin∠CQD＝4/5（∠CQD＝∠MID），此時設CD的垂直平分線交直線AB于點N，

在直線y＝3/4x b中，令y＝0，則x＝﹣4/3b，∴OA＝4/3|b|，令x＝0，則y＝b，∴OB＝|b|，由勾股定理，得：AB＝5/3|b|．

∵∠QNI＝ABO，∠IQN＝∠AOB＝90°，∴△IQN∽△AOB，

【點評】本題是一次函數的綜合題，考查了待定系數法的應用，三角形相似的判定和三角函數等，（2）作出直角三角形CDE和三角形的外接圓是解題的關鍵．根據題幹中條件畫出輔助圓，圓的性質:圓心必在線段CD的垂直平分線上是解答本題關鍵，可見輔助圓對題目的綜合分析起了很大的作用．其中需要特别注意的是，圓有兩個．

解題反思：在解答幾何問題時，如若發現運用常規方法不能解決問題或是解決過程比較繁瑣，此時可以通過仔細審題，挖掘題幹中與圓有聯系的條件(特别是線段與張角問題)，從而做出輔助圓進行分析解題，這樣可使解題柳暗花明，另辟蹊徑，化難為易，令問題的解答耳目一新，這樣構建輔助圓的關鍵就是善于捕捉題幹的細節之處，要在平時的學習中勤總結，多揣摩，不難做到遇到類似情況可嘗試應用．

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