無窮大一直是存在的,無法回避的事情.

比如,自然數一直往後數:

1,2,3,…,

總也數不完!

這個問題曆史上一直困擾着數學家、哲學家、甚至物理學家。

在公元384年，古希臘出生一個偉大的哲學家亞裡士多德，他是古希臘哲學家、科學家，是亞曆山大大帝的老師。曾認為“重物體比輕物體下落速度要快些”的觀點，這種認識統治了西方學術界将近2000年。一直到1590年伽利略做了那個著名的比薩斜塔試驗。

亞裡士多德認為：整數和時間都是無窮的，無窮沒有邊界，也就是說無窮大不可以存在的。

經過思辯，他認為無窮大不能存在于現實世界上，也就是說，在現實世界中永遠無法實現。由此提出了“潛無窮“的概念。

直到19世紀，西方一些數學家一直承認亞裡士多德是對的，包鼎鼎大名的高斯，他說：我反對将無窮視為一個實體，這在數學中從來都是不允許的。

但一直到伽利略，在實驗了兩個鐵球同時着地之後，索性再挑戰一下這個哲學上的巨人—亞裡士多德的“潛無窮“。

把這個車輪旋轉60°，我們來看看會發生什麼？

看小輪的前進距離是不是等于大輪的邊長?這是為什麼呢?

這是因為呀,在小輪前進過程中,不僅前進了自身的長度,而且空中跳躍了一下,所以最後加起來就是大輪的邊長了.

問題是,當把這個多邊形的邊長無限延伸時,這時兩個多邊形的車輪變成了兩個圓形的車輪,中間的小車輪也不再有跳躍,可是小車輪的移動距離居然和大車輪移動跨度相同,真是不可思議是不是?

這說明什麼問題,實際上可以這樣來解釋:雖然兩個圓的半徑不同,但上面的點“一樣多”!

所以後來,有了描述集合的“大小”的概念—集合的勢:

于是有了下面的關于無窮的描述(公理):

那麼如何證明一個集合是無限集呢?比如,所有的整數是無限集嗎?

如何定義兩個無窮多的集合一樣大呢?得先有下面的概念(這是必做的!):

如何證明兩個集合等勢呢?比如,我們能不能證明整數集(Z)和自然數集(N)是等勢的?

事實上,隻要能找到相應的f即可:

證明:如下方法構造f: ,則f為雙射:

即:

等勢的含義是兩個集合的元素個數“一樣多”!

關于集合論,早期沒有勢的概念,但出現下述悖論(佯謬):

而希爾伯特悖論說的是,有無限多的旅館和無限多的客人,隻要把原住的客人的房間号後推一個,總能住進一個新的客人!

如此之類的構造,我們很容易證明,所有的有理數組成的數集和整數組成的數集“一樣多”(等勢):

但無理數集不能與有理數集一樣多:

證明（Cantor'sDiagonalProof,1891）

由于 ≈[0，1]，故隻需要說明[0，1]之間的實數點集不可列即可。首先約定實數x∈[0，1]，令x=0.x₁x₂…，x_i∈N 且x_i∈[0,9],

對于無限循環小數0.249999…與0.250000…統一隻采用後者的表示法表示。

說的具體一點,假設所有的有理數集依次表示為如下的情況:

0.1256782…

0.236891…

0.865248…

0.526473…

… …

對這些所有的有理數,作下述變換:

依次取每個小數的第1位,第2位,第3位,…,取完這些數後每個數碼依次排列,然後把取定的每個數碼加上1(如果原數碼為9,則 1後記為0),前面再加上小數點,則新的數,由于每位數碼和原來有理數集中的每個原有的數都不相同,所以産生了一個新的數,它不是有理數,但它是小數.即必然會有無理數多于有理數(不等勢).

E.Bell說: “由康托爾在1874-1895年創造地集合論的引起争論的題目，象征着19世紀有先見之明的預言家們認為是從物理科學到民主政府的一切事物中，極其合理的原則的總崩潰，這些預言家們預見到了一切，隻是沒有預見到這場大崩潰。 “悖論和自相矛盾開始同時出現，這些可能最終是康托爾的理論注定要對數學做出的最大貢獻，因為它們就在圍繞無窮的邏輯和數學推理的基礎中意想不到地存在，是現在整個演繹推論中批判運動地直接啟迪。我們希望從這裡能得出一個更豐富、更“真實”(擺脫了不一緻)的數學。 你以為有了上面的無窮的概念,事情就結束了吧?才不是呢? 比如下面的問題: 你要伸手到達1m處,必先達到0.5m處,再之前必先到達0.25m處,依次類推,你的手是在哪個時刻伸出去的呢? 請回答!

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